17 函数的概念与性质中易错问题剖析和提醒-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■朱 珠 函数的概念与性质比较抽象,初学者常 常会犯这样或那样的错误,下面归纳整理剖 析并提醒之。 易错点1:混淆复合函数的定义域和外 层函数的定义域 例1 若函数 f(x2+1)的定义域为 [-2,1),则函数f(2x+1)的定义域为 。 错解:当x∈[-2,1]时,可得x2+1∈ [-2,1],解得x=0,所以2x+1=0,所以 x=- 1 2 ,则f(2x+1)的定义域为 - 1 2 。 剖析:已知复合函数的定义域,求另一个 复合函数的定义域,应先求出外层函数f(x) 的定义域即为内层函数的值域,再求定义域。 当x∈[-2,1]时,可得x2+1∈[1,5], 则f(x)的定义域为[1,5]。由1≤2x+1≤ 5,可得0≤x≤2,所以函数f(2x+1)的定义 域为[0,2]。 提醒:已知函数f[φ(x)]的定义域求外 层f(x)的定义域,实质是求φ(x)的值域;已 知函数f[φ(x)]的定义域A,求f[g(x)]的 定义域,先求出φ(x)的值域 B 应为外层 f(x)的 定 义 域,再 利 用 整 体 变 量 观 念 使 g(x)∈B 解出x 的范围,即为f[g(x)]的定 义域。 易错点2:求函数值域时,忽略定义域的 限制作用 例2 求函数y= -x2+x+2的值域。 错解:因为-x2+x+2=- x- 1 2 2 + 9 4 ∈ -∞ ,9 4 ,所 以 此 函 数 的 值 域 为 -∞, 3 2 。 剖析:上述解法没有考虑函数的定义域, 导致所求值域扩大了。由-x2+x+2≥0, 可得x∈[-1,2]。由 x∈[-1,2],可得 -x2+x+2=- x- 1 2 2 + 9 4∈ 0 ,9 4 ,所 以此函数的值域为 0, 3 2 。 提醒:解决函数值域问题,应从函数的定 义域入手,由内到外利用函数在区间上的单 调性求解。 易错点3:混淆函数值域为 R与函数定 义域为R的区别 例3 函数y= kx2-6x+k+8的值 域为[0,+∞),则k的取值范围是 。 错解:由题意得kx2-6x+k+8≥0恒 成立。当 k≤0 时,显 然 不 合 题 意,所 以 k>0, Δ=36-4k(k+8)≤0, 解得k≥1。 剖 析:上 述 解 法 认 为 函 数 y = kx2-6x+k+8的定义域为 R,混淆值域 为R与函数定义域为R的区别。因为kx2- 6x+k+8取遍所有非负数,所以f(x)= kx2-6x+k+8的最小值应等于零。 当k=0时,函数f(x)=-6x+8,满足 题意;当k>0时,由Δ=36-4k(k+8)≥0, 解得0<k≤1。 综上可得,k的取值范围是[0,1]。 提醒:函数y= kx2-6x+k+8的定 义域是R等价于kx2-6x+k+8≥0恒成 立。函数y= x的值域是[0,+∞),其自变 量x 只有取遍所有正数,才能使得其值域恰 好是[0,+∞),对于复合函数y= f(x)也 有类似的性质。 易错点4:混淆单调区间和单调区间子 集的意义 例4 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4 的单调递减区间是(-∞,4],则实数a 的取 33 易错题归类剖析 高一数学 2023年10月 {#{QQABLYAQogAIAAIAAQgCUwFwCEEQkBCAAKoGgAAAoAAAgANABAA=}#} 值范围是 。 错解:函数f(x)的图像的对称轴为直线 x=1-a。函数f(x)在区间(-∞,4]上单 调递减,因此1-a≥4,可得a≤-3,即实数 a∈(-∞,-3]。 剖析:上述解法把单调区间误认为是在 区间上单调了。因为函数的单调递减区间为 (-∞,4],且函数图像的对称轴为直线x= 1-a,所以1-a=4,可得a=-3。 提醒:单调区间是一个整体概念,如函数 的单调递减区间是I,指的是函数递减的最 大范围为区间I,而函数在某一区间上单调, 则指此区间是相应单调区间的子集。 易错点5:由单调性求参数范围时,忽略 整体变量的范围 例5 已知奇函数f(x)是定义在(-2, 2)上的减函数,若f(m-1)+f(2m-1)> 0,求实数m 的取值范围。 错解:由f(x)是奇函数,可得f(-x)= -f(x)。由f(m-1)+f(2m-1)>0,可得 f(m-1)>-f(2m-1)=f(1-2m)。因为 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,所以 m-1<1-2m,可得 m< 2 3 ,即实数 m∈ -∞, 2 3 。 剖析:f(m-1),f(2m-1)都是复合函 数,在定义域上有隐含条件-2<m-1<2, -2<2m-1<2,由此解得- 1 2<m< 2 3 ,再 与错解求交集即可。故实数m∈ - 1 2 ,2 3 。 提醒:利用函数单调区间求参数