14 如何确定幂函数的解析式&15 学透函数的奇偶性-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■于梦瑜 求幂函数的解析式时,要明确幂函数的 定义,形如y=xα(α∈R)的幂函数,要注意 xα 的系数为1。求幂函数的解析式时,要注 意幂函数性质的应用。 一、结合函数的定义求幂函数的解析式 例1 已知幂函数y=f(x)的图像过点 (2, 2),则f(9)= 。 解:由题意令y=f(x)=xα。由图像过 点(2,2),可得 2=2α,所以α= 1 2 ,所以 y=f(x)=x 1 2,所以f(9)=3。 评析:已知函数是幂函数,可设该函数为 y=f(x)=xα(α∈R),这样就可待定其中的 参数值α,从而求得幂函数y=f(x)的解析 式。 二、结合函数的图像求幂函数的解析式 例2 若幂函数f(x)=(m2-2m-2)· xm 2+m-1 的图像与坐标轴没有交点,求实数m 的值。 解:由f(x)=(m2-2m-2)xm 2+m-1 是 幂函数,可得m2-2m-2=1,解得 m=-1 或m=3。 当m=3时,f(x)=x11 的图像过原点 (0,0),这时与坐标轴相交,不合题意;当m= -1时,f(x)=x-1 的图像与坐标轴无公共 点,符合题意。故实数m=-1。 评析:对于幂函数y=xα(α∈R),当α> 0时,y=xα 的图像过两个定点(0,0)与(1, 1)。由幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm 2+m-1 的图像与坐标轴没有交点,可判断m2+m- 1<0。 三、结合函数的奇偶性求幂函数的解析式 例 3 已 知 幂 函 数 y =f (x)= x-2m 2-m+3,其中m∈{x|-2<x<2,x∈Z}, 满足:①是区间(0,+∞)上的增函数;②对任 意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0。 求同时满足①②的幂函数f(x)的解析 式,并求当x∈[0,3]时f(x)的值域。 解:因为m∈{x|-2<x<2,x∈Z},所 以m=-1,0,1。 对任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0, 即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数。 当m=-1时,f(x)=x2,此时满足条 件①,不满足条件②;当 m=1时,f(x)= x0=1(x≠0),此时条件①②都不满足;当 m=0时,f(x)=x3,此时满足条件①②,且 在区间(0,+∞)上是增函数。 综上可得,幂函数的解析式为f(x)= x3,所以当x∈[0,3]时,f(x)的值域为[0, 27]。 评析:解答这类问题,要明确y=x,y= x2,y=x3,y=x 1 2,y=x-1 这五类幂函数的 单调性。由函数的性质,确定幂函数解析式 中所含参数的值是求解幂函数解析式常用的 手段。 四、结合函数的单调性求幂函数的解析式 例4 函数f(x)=(m2-3m+3)· xm 2+m-3 是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时, f(x)是增函数,求f(x)的解析式。 解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1, 解得m=2或m=1。 当m=2时,f(x)=x3 在(0,+∞)上是 增函数,符合题意;当 m=1时,f(x)=x-1 在(0,+∞)上是减函数,不合题意。 综上可得,f(x)=x3。 评析:解答本题时,因不理解幂函数的定 义而找不到“m2-m-1=1”这一等量关系, 因此容易导致解题受阻。需要注意的是幂函 数与指数函数的解析式“形同”而“实异”,一 定要区分清楚,以防出错。 作者单位:山东省潍坊市寒亭区益新街 河西学校 (责任编辑 郭正华) 42 知识结构与拓展 高一数学 2023年10月 {#{QQABLYAQogCAAAJAAAhCUwVwCEEQkACACKoGxBAIoAAAABNABAA=}#} ■韩雨彤 函数的奇偶性是函数的主要性质之一, 它常和函数的单调性、对称性、周期性交汇命 题,且是每年高考的常考点。 一、函数的奇偶性 例1 已知定义域为[1-2a,a+1]的奇 函数f(x)=x3+(b-1)x2+x,则a+b= 。 解:由题意得1-2a+a+1=0,所以 a=2。因 为 函 数 f(x)是 奇 函 数,所 以 f(-x)=-f(x),即-x3+(b-1)x2-x= -x3-(b-1)x2-x,所以(b-1)x2=0恒成 立,所以b-1=0,即b=1。故a+b=3。 函数具有奇偶性的必要 条件是定义域关于原点对称, 在此条件下,若f(-x)=-f(x),则函数 f(x)为奇函数;若f(-x)=f(x),则函数 f(x)为偶函数。反之亦然。 二、函数的奇偶性与对称性 例2 已知函数f(x)=ax5+bx3+3且 f(2023)=16,则f(-2023)的值为 。 解:令g(x)=ax5+bx3。因为f(x)= ax5+bx3+3,所以f(x)=g(x)+3。 因为g(