12 例析求函数解析式的四种方法&13 小议函数的值域的应用问题-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■秦雷宇 函数的解析式是函数的三要素之一,求 函数解析式的常用方法有:配凑法、待定系数 法、方程组法和函数奇偶性法。下面举例分 析求函数解析式的四种方法,供大家学习与 参考。 方法一:配凑法 由已知条件 f[g(x)]=F(x),可将 F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x 替代g(x),可得f(x)的表达式。 例1 已知f(x+1)=x+2 x,则 f(x)= 。 解:f(x+1)=x+2 x=x+2 x+ 1-1=(x+1)2-1。因为 x+1≥1,所以 f(x)=x2-1(x≥1)。 方法二:待定系数法 已知函数的类型(如一次函数、二次函 数),可先设函数的解析式,再确定其系数即 得解析式。 例2 已知f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式。 解:由 f(x)是 一 次 函 数,设 f(x)= kx+b,且k≠0。因为3f(x+1)-f(x)= 2x+9,所以3[k(x+1)+b]-(kx+b)= 2x+9,整理得2kx+3k+2b=2x+9,所以 2k=2, 3k+2b=9, 解得 k=1 , b=3, 所以函数f(x)= x+3。 方法三:方程组法 已知关于f(x)与f 1 x 或f(-x)的关 系式,可根据已知条件,构造出另一个等式, 通过解方程求出f(x)。 例3 若对任意的实数x,都有2f(x)- f 1 x =2x+1,则f(x)= 。 解:对 任 意 的 实 数 x,都 有 2f(x)- f 1 x =2x+1,把x 用1x 替换可得方程组 2f(x)-f 1 x =2x+1, 2f 1 x -f(x)=2x+1。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 据 此 消 去 f 1 x 得f(x)=43x+23x+1(x≠0)。 方法四:函数的奇偶性法 已知函数f(x)的奇偶性及f(x)在某区 间上的解析式,求该函数在整个定义域上的 解析式的方法:求哪个区间上的解析式,x 就 设在那个区间上;把x 的对称转化到已知区 间上,代入已知区间上的解析式;利用f(x) 的奇偶性,将f(-x)用-f(x)或f(x)表 示,从而求出f(x)。 例4 若函数f(x)是R上的奇函数,且 当x>0时,f(x)=x3+x2+1,则f(x)= 。 解:因为当x>0时,f(x)=x3+x2+1, 所以 当 x<0时,-x>0,则 f(-x)= (-x)3+(-x)2+1=-x3+x2+1。 因为 f(x)是 奇 函 数,所 以 f(x)= -f(-x)=-(-x3+x2+1)=x3-x2-1。 又因为 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(0)=0。 综 上 可 得, 函 数 f (x ) = x3+x2+1,x>0, 0,x=0, x3-x2-1,x<0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 作者单位:湖北省巴东县第一高级中学 (责任编辑 郭正华) 12 知识结构与拓展 高一数学 2023年10月 {#{QQABLYCUogCIABAAAQhCUwVACEIQkAAAACoGgAAIoAAAwBNABAA=}#} ■王 健 函数的值域是函数的重要性质之一,求 函数的值域有多种方法,不仅如此,同学们还 要善于从函数的值域出发寻找解决函数其他 问题的方法,如已知函数的值域求函数的定 义域、求解析式、求参数的值或取值范围等。 下面就此小议函数的值域的应用问题。 一、求函数的定义域 例1 (多选题)已知函数y=x2-2x+ 3 的 值 域 是 [2,11],则 其 定 义 域 可 能 是( )。 A.[0,4] B.[-1,1] C.[2,3] D.[-1,4] 令x2-2x+3=2,解 得 x=1;令x2-2x+3=11,解得 x=4或x=-2。据此作出函数y=x2- 2x+3的大致图像,如图1所示。 图1 设此函数的定义域为M,则[-2,1]⊆M 或[1,4]⊆M。结合图像可知,B,C错误。应 选AD。 评注:函数的定义域中的每个元素在其 值域中都有唯一元素与之对应;反之,函数的 值域中的每个元素在其定义域中有一个或多 个元素与之对应。 二、求函数的值域 例2 已知函数g(x)= ax2+8x+b x2+1 的 值域是{y|1≤y≤9},则 函 数 f(x)= ax2+8x+b的值域为 。 已知 g(x)= ax2+8x+b x2+1 的定义域为R,令y=g(x),则(y-a)x2- 8x+y-b=0。 因为该方程有实数解,所以 Δ=64- 4(y-a)(y-b)≥0,即y2-(a+b)y+ab- 16≤0。 又因为1≤y≤9,所以1,9是方程y2- (a+b)y+ab-16=0的两个实数根。 由韦达