11 挖掘概念内涵，巧妙综合应用——分段函数-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■王红芳 分段函数是一类特殊的函数,在实际问 题中,分段函数有着广泛的应用,课本中没有 进行大篇幅的介绍,但它是高考的必考内容 之一。 一、分段函数的概念 在函数的定义域中,对于自变量不同的 取值范围,用含有自变量不同的式子(包括常 数)来表示对应法则的函数,这类函数叫作分 段函数。分段函数的四个注意点:分段函数 在形式上,至少分成两段,最多可以分成无数 段,但它仍然表示一个函数,不能理解成几个 函数的拼接或合并;分段函数在图像上,一般 由多于一段的线段、曲线段或孤立的点组成, 应该把它们看作一个整体,而不是几个图像; 分段函数的定义域是各段定义域的并集,值 域是各段值域的并集;求分段函数的函数值, 先要确定自变量在函数的定义域中所在的区 间,再根据该区间的函数表达式进行计算。 二、分段函数的应用 1.分段函数的求值问题 例 1 已 知 函 数 f (x ) = 2x+3,x<-1, x2,-1≤x≤1, x,x>1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则f{f[f(-2)]}= 。 分析:明确分段函数和复合函数的意义。 从 里 到 外,先 求 f (-2)的 值,再 求 f[f(-2)]的值,最后求f{f[f(-2)]}的 值。 解:因为-2<-1,所以f(-2)=2× (-2)+3=-1。因为-1≤-1≤1,所以 f[f(-2)]=f(-1)=(-1)2=1。又因为 -1≤1≤1,所以f{f[f(-2)]}=f(1)= 12=1。 在分段函数的求值中,要 先正确判断给定的自变量在 函数的定义域中所在的范围,再结合该范围 的函数表达式进行求值。 2.分段函数的最值问题 例2 函数y= 2x+3,x≤0, x+3,0<x≤1, -x+5,x>1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的最大 值是 。 分析:先利用分段函数的解析式,求出在 不同区间内的取值范围,再结合整体情况确 定对应的最大值。 解:当x≤0时,y≤3;当0<x≤1时, 3<y≤4;当x>1时,y<4。 综上所述,y≤4。故所求函数的最大值 为4。 求分段函数的值域,可以 先分类求出各段内的函数的 值域,再求各段内的函数值域的并集,最后即 得最值。 3.分段函数中的不等式问题 例 3 已 知 函 数 f (x ) = x+1,x≤-2, 3x+5,-2<x<2, 2x-1,x≥2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 若f(a2+2)≥a+4,则 实数a的取值范围为 。 分析:先利用分段函数确定相应的不等 式,再利用一元二次不等式确定实数a 的取 值范围。 解:由于a2+2≥2,则不等式f(a2+2) ≥a+4可转化为2(a2+2)-1≥a+4,即 2a2-a-1≥0,解得a≤- 1 2 或a≥1,所以实 数a的取值范围为 -∞,- 1 2 ∪[1,+∞)。 根据不等式中变量的取 值范围,将对应的不等式加以 91 知识结构与拓展 高一数学 2023年10月 {#{QQABJYCQggioAABAAAgCUwEwCEIQkACACKoGwBAEsAAAABNABAA=}#} 合理转化与变形,是解决涉及分段函数中的 不等式问题的关键。如果无法确定变量的取 值范围,则需要进行分类讨论。 4.分段函数的解析式问题 例4 已知函数f(x)对任意实数x 均 有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且 f(x)在 区 间[0,2]上 有 表 达 式 f(x)= x(x-2)。 (1)求f(-1),f(2.5)的值。 (2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式。 分析:结合函数的关系式,通过特殊值法 确定f(-1),f(2.5)的值;利用分类讨论思 想,求对应的解析式。 解:(1)由f(x)=kf(x+2),且f(x)在 区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2),可 得f(-1)=kf(-1+2)=kf(1)=k×1× (1-2)=-k。 由f(0.5)=kf(2.5),可得f(2.5)= 1 kf (0.5)= 1 k×0.5× (0.5-2)=- 3 4k 。 (2)对任意实数x 均有f(x)=kf(x+ 2),则f(x-2)=kf(x),即f(x)= 1 kf (x -2)。当-2≤x<0时,0≤x+2<2, f(x)=kf(x+2)=kx(x+2);当-3≤x< -2时,-1≤x+2<0,而[-1,0)⫋[-2, 0),所以f(x)=kf(x+2)=k[k(x+2)(x +2+2)]=k2(x+2)(x+4);当2<x≤3 时,0<x-2≤1,而(0,1]⫋[0,2],所以 f(x)= 1 kf (x-2)= 1 k (x-2)(x-4)。 故函数f(x)在[-3,3]上的表达式为 f(x)= k2