10 分段函“数题”型剖析-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■王 飞 分段函数是“自变量取不同范围时所使 用的解析式不同”,于是,求解分段函数要时 刻盯着自变量的范围是否发生变化,即“分段 函数———分区间研究其性质”。 题型1:分段函数的求值问题 例 1 已 知 分 段 函 数 f (x)= x(x+4),x≥0, x(x-4),x<0, 求f(1),f(-3),f(a+1) 的值。 分析:求f(1),f(-3),可选用解析式求 值;求f(a+1),依据(a+1)和0的大小进行 分类,再选择解析式求值。 解:因为f(x)= x(x+4),x≥0, x(x-4),x<0, 所以 f(1)=1×(1+4)=5,f(-3)=-3× (-3-4)= 21, f (a + 1 ) = (a+1)(a+5),a≥-1, (a+1)(a-3),a<-1。 分段函数求值,可依据自 变量的值,选择对应的解析式 求值。当自变量不确定时,先合理分类,再利 用区间上的解析式求值。 题型2:分段函数的复合函数求值问题 例2 设函数f(x)= 2,x>0, 0,x=0, -2,x<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 函数 g(x)= 1,x∈Q, -1,x∈(∁RQ), 则 f g(π) 的值 为 。 分析:求f[g(π)]的值,需认清由内向外 的顺序,合理选择区间上的解析式求值。 解:因为π为无理数,所以g(π)=-1。 又-1<0,所以f[g(π)]=f(-1)=-2。 分段函数的复合函数求 值,注意 由 内 向 外 的 复 合 过 程,每一次都由自变量的范围合理选择区间 上对应的解析式求值。本题先求g(π)的值, 再求f[g(π)]的值。 题型3:分段函数的不等式问题 例 3 已 知 分 段 函 数 f (x)= 1 x-1 ,1<x≤2, 1 2x ,x>2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则满足f(a)>3的实数a 的取值范围是 。 分析:求f(a)>3,需依据a的取值范围 选择解析式,这就要对a进行分类讨论,利用 f(a)构建不等式组,最后求并集。 解:当1<a≤2时,由f(a)= 1 a-1>3 , 解得1<a< 4 3 ;当2<a时,由f(a)= 1 2a> 3,解得a>6。 综上可得,实数a∈ 1, 4 3 ∪(6,+∞)。 求分段函数的不等式,关 键是先利用区间上的解析式, 对整体变量进行合理分类,构建不等式组,再 求并集,凸显了“先分后合”的分类方法。 题型4:分段函数与实际应用问题 例4 某单位为鼓励职工节约用水,有如 下规定:每位职工每月用水量不超过10m3,按 3元/m3 收费;用水量超过10m3,超过部分按 5元/m3 收费。某职工某月缴水费55元,则该 职工这个月实际用水量为 m3。 分析:先设出职工的月实际用水量,由题 设构建所交水费与用水量的分段函数,借助 分段函数的函数值构建方程,再求对应的用 水量。 解:设职工的月实际用水量为xm3,所 缴 水 费 为 y 元。结 合 题 意 可 得 y = 71 知识结构与拓展 高一数学 2023年10月 {#{QQABLYCUogAAABBAAAgCUwFACEIQkBAACCoGxBAAoAAAQANABAA=}#} 3x,0≤x≤10, 30+5(x-10),x>10, 即 所 缴 水 费 y = 3x,0≤x≤10, 5x-20,x>10。 因为该职工实际用水量超 过10m3,所以5x-20=55,解得x=15。故 该职工这个月实际用水量为15m3。 在阅读理解的基础上,构 建分段函数模型是解题的关 键。解题的难点是“当x>10时,y=30+ 5(x-10)”的应用。 题型5:分段函数的单调性问题 例 5 已 知 分 段 函 数 f (x)= (2a-1)x+4a,x<1, -x+1,x≥1 是定义在R上的减函 数,则实数a的取值范围为 。 分析:当x≥1时,f(x)为减函数,当 x<1时,f(x)也为减函数,且注意分界点处 的函数值的大小关系,从而构建不等式组求 出参数的取值范围。 解:因为f(x)为定义在 R上的减函数, 所以 2a-1<0, (2a-1)×1+4a≥-1+1, 解 得16 ≤ a< 1 2 ,即所求实数a∈ 16 ,1 2 。 分段函数由区间单调到 R上单调,既要考虑“同步单 调”,也要考虑分界点处的函数值的大小关 系。 题型6:新定义的分段函数问题 例6 对于实数a 和b,定义运算“*”: a*b= a2-ab(a≤b), b2-ab(a>b), 设f(x)=(2x-1)* (x-1),且关于x 的方程f(x)=m(m∈R) 恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是 。 分析:理解新定义是解题的重