09 “痛点”拓展——复合函数的定义域问题-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■徐 勇 “痛点”是当下比较热的互联网术语,一 般指市场不能充分满足的,而客户迫切需要 满足的需求。在数学解题过程中,我们也会 经常碰到类似的“痛点”,明明觉得思路清晰, 解答正确,而最终还是出现偏差。下面就复 合函数的定义域这一“痛点”加以剖析。 一、表层“痛点”———复合函数的定义域 问题 求复合函数的定义域就是求它的自变量 x 的取值范围,这是复合函数中的表层痛点 所在。要注意函数y=f(x)中的x 与y= f[g(x)]中的g(x)的取值范围是相同的。 1.已知f(x)的定义域确定f[g(x)]的 定义域 例1 已知y=f(x)= 2x-x2,求函 数y=f(x)的定义域。 分析:根据y=f(x)的解析式确定对应 的定义域,再求函数y=f(x)的定义域。 解:由y=f(x)= 2x-x2,可得2x- x2≥0,解得0≤x≤2,即y=f(x)的定义域 为[0,2]。函数y=f(x)中的x 与函数y= f(x)中 的 x 取 值 范 围 相 同,所 以0≤ x≤2,解得0≤x≤4,即函数y=f(x)的 定义域为[0,4]。 评析:由已知函数的定义域,求复合函数 的定义域,只要把所求复合函数式中括号内 的式子看成已知函数式中的x,再解不等式, 即得复合函数的定义域。 2.已知f[g(x)]的定义域确定f(x)的 定义域 例2 已知函数y=f(x2-1)的定义域 为[- 3,3],则函数y=f(x)的定义域为 。 分析:根据自变量x 的取值范围确定 x2-1的取值范围,即为函数y=f(x)的定 义域。 解:由于y=f(x2-1)的定义域为[-3, 3],所以x∈[-3,3],可得x2-1∈[-1, 2],即y=f(x)的定义域为[-1,2]。 评析:函数f[g(x)]的定义域即为x 的 取值范围,再结合整体思维的应用,可得函数 y=f(x)的定义域。 3.运算类的复合型函数的定义域 例3 若函数y=f(x)的定义域是[1, 2023],则函数g(x)= f(x+1) x-1 的定义域是 ( )。 A.[0,2022] B.[0,1)∪(1,2022] C.(1,2023] D.[-1,1)∪(1,2022] 分析:由函数y=f(x)的定义域确定 f(x+1)的定义域,再结合运算形式加以综 合分析与处理。 解:令t=x+1。由已知函数的定义域 为[1,2023],可得1≤t≤2023。要使函数 f(x+1)有意义,需满足1≤x+1≤2023,解 得0≤x≤2022,所以函数f(x+1)的定义域 为[0,2022]。要使函数g(x)有意义,需满 足 0≤x≤2022, x-1≠0, 解得0≤x<1或1<x≤ 2022,所以函数g(x)的定义域为[0,1)∪ (1,2022]。应选B。 评析:运算类的复合型函数的定义域,涉 及加、减、乘、除等综合运算的应用,可先确定 对应函数的定义域,再求相应的交集。 二、中层“痛点”———复合函数的基本性 质问题 复合函数的基本性质包括复合函数的值 51 知识结构与拓展 高一数学 2023年10月 {#{QQABJYCQggggAAAAAQhCUwUwCEIQkBCAAKoGhAAMsAAAgANABAA=}#} 域,复合函数的单调性、奇偶性、周期性等,其 前提条件是离不开复合函数的定义域,这是 求解过程中的“痛点”所在,要引起同学们的 重视。 1.复合函数的值域问题 例4 求函数y=2 -x 2+2x+3的值域。 分析:先利用内外层函数之间的关系,结 合内层函数的解析式确定对应的值域,再通 过“由内到外”来求解相应的值域。若盲目根 据外层函数的解析式特征直接确定相应的值 域,则必然导致“痛点”的产生。 解:设y=2u,u=t,t=-x2+2x+3。 因为二次函数t=-x2+2x+3=-(x -1)2+4,所以t≤4,所以函数u=t的值域 为[0,2],所以y=2u 的值域为[1,4],即函数 y=2 -x 2+2x+3的值域为[1,4]。 评析:按照“由内到外”的顺序来研究复 合函数的内层函数值域 A 与外层函数定义 域B 之间的关系,要保证内层函数值域A 是 外层函数定义域B 的子集,再结合条件加以 分析与处理。 2.复合函数的单调性问题 例5 已知 f(x)= 2x+5,求函数 f(x)的单调增区间。 分析:先明确复合函数的构成,再考虑复 合后函数的相应性质的变化与应用。 解:函数f(x)= 2x+5是由函数y= t与函数t=2x+5复合而成。外层函数 y=t是定义域上的单调递增函数。内层函 数t=2x+5是增函数,由2x+5≥0,解得 x≥- 5 2 。故函数 f(x)的单调增区间为 - 5 2 ,+∞ 。 评析:复合函数的单调性遵循“同