07 “函数的概念与性质”题型探析&08 性质巧综合，函数妙应用-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■周 树 函数的概念与性质是每年高考的一个常 考知识点。下面就高考中常见的几类题型进 行举例剖析。 题型一:求函数的定义域 例1 函数y= (2x+1)0 6-x-x2 的定义域为 。 思路分析:求函数定义域的关键是列出 使函数有意义的不等式组。 解:由题意可得 2x+1≠0, 6-x-x2>0, 解得x∈ -3,- 1 2 ∪ -12,2 即为所求的定义域。 题型二:函数单调性的证明 例2 已知函数y=f(x)的表达式为 f(x)=x2+ 2 x ,试用定义法证明函数y= f(x)在(1,+∞)上为单调递增函数。 思路分析:设出自变量,利用单调性的定 义,直接转化求解。 证明:设∀x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x21+ 2 x1 -x22- 2 x2 =(x1- x2)(x1+x2)- 2 x1x2 。因为x1<x2,所以 x1-x2<0,x1+x2>2,x1x2>1,所 以 2 x1x2 <2,所以(x1+x2)- 2 x1x2 >0,所以 (x1-x2) (x1+x2)- 2 x1x2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 < 0,所 以 f(x1)<f(x2),所以函数y=f(x)在(1, +∞)上为单调递增函数。 题型三:求函数的单调区间 例3 函数f(x)= 1 7+6x-x2 的单调 递减区间为 。 思路分析:先求函数的定义域,再求内层 函数的增区间,结合复合函数的单调性求出 单调递减区间。 解:由7+6x-x2>0,可得-1<x<7, 即函数的定义域为(-1,7)。因为函数t= 7+6x-x2 的对称轴为x=3,在(-1,3)上 为增函数,且函数y=t -12为定义域内的减函 数,所以函数f(x)= 1 7+6x-x2 的单调递 减区间为(-1,3)。 题型四:函数的奇偶性的应用 例4 已知f(x)是定义在 R上的奇函 数,且当x≤0时,f(x)=3x2-2x+m,则 f(x)在[1,2]上的最大值为 。 思路分析:根据f(0)=0求 m 的值,由 x≤0,结合f(x)是奇函数可求当x>0时的 解析式,判断f(x)在[1,2]上的单调性即可 求其最大值。或者,求出当x≤0时,f(x)的 最小值,根据奇函数的性质,求出f(x)在[1, 2]上的最大值。 解:(方法1)因为f(x)是定义在R上的 奇函数,所以f(0)=0。当x≤0时,f(x)= 3x2-2x+m,所以f(0)=0=m,所以当x≤ 0时,f(x)=3x2-2x。 设x>0,则-x<0,所以 f(-x)= 3x2+2x,所以f(x)=-f(-x)=-3x2- 2x,即当x>0时,f(x)=-3x2-2x,所以 f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)在[1, 2]上的最大值为f(1)=-5。 (方法2)因为f(x)是定义在 R上的奇 函数,所以f(0)=0。当x≤0时,f(x)= 3x2-2x+m,所以f(0)=0=m,所以当x≤ 0时,f(x)=3x2-2x。根据奇函数的性质, f(x)在[1,2]上有最大值,那么 f(x)在 [-2,-1]上有最小值。因为函数f(x)= 3x2-2x 在[-2,-1]上递减,所以当x∈ [-2,-1]时,f(x)min=f(-1)=5,所以 f(x)在[1,2]上的最大值为-5。 作者单位:安徽省泗县第二中学 (责任编辑 郭正华) 21 知识结构与拓展 高一数学 2023年10月 {#{QQABJYAUogCAAgBAAAgCUwFwCkIQkAGACAoGAAAIsAAAQQNABAA=}#} ■ 武 春 苗 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性 是函数的四大基本性质。函数性质的应用问 题,在历年的高考中都占有非常重要的地位。 函数性质之间关系密切,涉及两个及两个以 上函数性质之间的综合应用问题,其难度大, 解题技巧性强,且具有一定的抽象性,因此应 引起同学们的高度重视。 一、函数的单调性与奇偶性的综合 例1 已知函数f(x)是奇函数,满足 f(x1)-f(x2) x1-x2 >0 对 任 意 x1,x2∈R 且 x1≠x2 都成立。设a=f 3 2 ,b=f(3), c=f(-0.83),则( )。 A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 依题意可知,当x1>x2 时, 由 f(x1)-f(x2) x1-x2 > 0,可 得 f(x1)> f (x2 ),当 x1 < x2 时,由 f(x1)-f(x2) x1-x2 >0,可得f(x1)<f(x2),因 此函数f(x)是R上的单调递增函数。 由函数f(x)是奇函数,可得f(0)=0, 所以当x>0时,f(x)>