05 一道好题带你掌握抽象函数&06 问渠哪得清如许，为有源头活水来——谈抽象函数中的单调性应用技巧-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■魏田田 题目 已知函数f(x)的定义域为R,对 任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+ f(y),当x>0时,f(x)>0,且f(1)=3。 问题1:求f(0)的值。 解:令x=0,y=0,解得f(0)=0。 问题2:证明:对任意的x,y∈R,都有 f(x-y)=f(x)-f(y)成立。 证明:令x=(x-y)+y,可得f(x)= f[(x-y)+y]=f(x-y)+f(y),即 f(x-y)=f(x)-f(y)成立。 问题3:判断函数f(x)在R上的奇偶性。 解:任取x∈R,则-x∈R。令y=-x, 则f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=f(0)= 0,可得f(x)+f(-x)=0,即f(-x)= -f(x),所以函数f(x)为奇函数。 问题4:用定义法判断函数f(x)在R上 的单调性。 解:任取x1,x2∈R,且x1<x2。由问题 3知 f(x)为 奇 函 数,即 对 ∀x∈R,有 f(-x)=-f(x),所以f(x2)-f(x1)= f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)。因为x1< x2,所以x2-x1>0。因为当x>0时,f(x) >0,所以f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1), 所以f(x)在R上单调递增。 问题5:解不等式f(x2-3x)+f(2x- 6)>0。 解:f(x2-3x)+f(2x-6)>0,即 f(x2-3x)>-f(2x-6)。由问题3知函 数f(x)为奇函数,所以f(x2-3x)>f(6- 2x)。由问题4知函数f(x)在 R上单调递 增,所以x2-3x>6-2x,解得x<-2或 x>3。故所求不等式的解集为{x|x<-2 或x>3}。 问题6:若存在x∈[2,3],使f(x2-mx)+ f(x)<6成立,求实数m 的取值范围。 解:已知f(1)=3。令x=1,y=1,可得 f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1),即f(2)= 6,所以f(x2-mx+x)<f(2)。已知函数 f(x)在R上单调递增,则原问题可转化为存 在x∈[2,3]使x2-mx+x<2成立,所以 m>x- 2 x+1 在[2,3]上有解(分离参数), 即m> x- 2 x+1 min,x∈[2,3]。因为y= x- 2 x+1 在[2,3]上单调递增,当x=2时取 最小值2,所以m>2。故m∈(2,+∞)。 问题 7:若 对 于 ∀x ∈ [2,3],恒 有 f(x2-mx)+f(x)<6成立,求实数m 的取 值范围。 解:原问题可转化为对于∀x∈[2,3], x2-mx+x<2恒成立,所以m>x- 2 x+1 在[2,3]上恒成立,只需m> x- 2 x+1 max, x∈[2,3]。由于函数y=x- 2 x+1 在[2,3] 上单调递增,当x=3时取最大值 10 3 ,所以 m> 10 3 。故m∈ 103 ,+∞ 。 问题8:请写出一个同时满足以下三个 条件的具体函数f(x):①对任意的x,y∈ R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立;②当 x>0时,f(x)>0;③f(1)=3。 解:①对任意的x,y∈R,都有f(x+y) =f(x)+f(y)成立,可知f(x)可以是正比 例函数f(x)=kx。②当x>0时,f(x)> 0,可知k>0。③f(1)=3,可知f(1)=k× 1=3,解得k=3。故函数f(x)=3x。 作者单位:湖北省武汉市第十四中学 (责任编辑 郭正华) 9 知识结构与拓展 高一数学 2023年10月 {#{QQABLYAQggigAhAAAQhCUwUACkIQkAEAAIoGQBAEoAAAgQNABAA=}#} ———谈抽象函数中的单调性应用技巧 ■乐和顺 抽象函数通常是指没有给出具体的函数 解析式,只给出了其他一些条件(如函数的定 义域、经过的特殊点、解析递推式、部分图像 性质等)的函数。抽象函数是高中数学的难 点,也是高中与大学的一个知识衔接点。因 为抽象函数没有具体的解析式,所以判断或 应用其单调性时就比较困难。下面就几类常 见的抽象函数的单调性的应用技巧,进行实 例剖析。 一、单调性定义的巧妙应用 根据函数单调性的定义,函数单调性判 断的“三部曲”:任给定义域内的两个值x1, x2,并规定它们的大小;比较两处函数值的大 小(常规方法是作差);根据定义产生结论。 例1 已知定义在R上的函数f(x),对 任意实数x、y,恒有f(x)+f(y)=f(x+ y),且当 x>0时,f(x)<0。求证:函数 f(x)在R上是减函数。 分析:利用函数单调性的定义,按照三个 步骤进行分析与证明。 证明:设x1,x2∈R,且x1>x2,则x1- x2>0。 由已知条件知,当x>0时,f(x)<0,所 以