03 “函数奇偶性的判断与证明“学习导航&04 抽象函数问题的类型与求解方法-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■王佩其 一、基础知识必备 1.奇偶性是针对整个定义域而言的,单 调性是针对定义域内的某个区间而言的,奇 偶性是一个“整体”性质,单调性是一个“局 部”性质;定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的必要条件。奇函数的图像关于原点成 中心对称,偶函数的图像关于y 轴对称。具 有奇偶性的函数,其定义域必然关于原点对 称;若f(x)是奇函数,则f(0)=0;奇函数在 关于原点对称的区间上,若有单调性,则其单 调性完全相同,最值相反;偶函数在关于原点 对称的区间上,若有单调性,则其单调性相 反,最值相同。 2.判断函数奇偶性的三种方法:定义法, 对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(x)=f(-x),则f(x)是偶函数,对于函 数f(x)的 定 义 域 内 任 意 一 个 x,都 有 f(x)=-f(x),则f(x)是奇函数;图像法, 图像关于原点成中心对称的函数是奇函数, 图像关于y 轴对称的函数是偶函数;运算法, 奇函数+奇函数=奇函数,偶函数+偶函数 =偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,奇函数 ×偶函数=奇函数。 3.若函数g(x),f(x),f[g(x)]的定义 域都关于原点对称,则u=g(x),y=f(u)都 是奇函数时,y=f[g(x)]是 奇 函 数;u= g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶 时,y=f[g(x)]是偶函数。 二、典型例题分析 例1 函数f(x)= 1-x2 x+2 -x 。 (1)判断f(x)的奇偶性。 (2)求证:f(x)在(0,1]上是减函数。 解:(1)由1-x2≥0,解得-1≤x≤1,所 以函数f(x)的定义域为[-1,1],且定义域 关于原点对称。当x∈[-1,1]时,x+2>0, 此时f(x)= 1-x2 (x+2)-x= 1-x2 2 。因为 f(-x)= 1-(-x)2 2 = 1-x2 2 =f (x), 所以函数f(x)是偶函数。 (2)设0<x1<x2≤1,则f(x1)-f(x2) = 1-x21 2 - 1-x22 2 = 1-x21- 1-x22 2 = (1-x21- 1-x22)(1-x21+ 1-x22) 2(1-x21+ 1-x22) = (x2-x1)(x2+x1) 2(1-x21+ 1-x22) 。由0<x1<x2≤1, 可得x2-x1>0,x2+x1>0,2(1-x21 + 1-x22)>0,所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,1]上是 减函数。 例2 设函数f(x)对任意的x,y 都满 足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时, f(x)>0。 (1)求f(0)的值。 (2)证明函数f(x)是奇函数。 (3)若函数f(x)的定义域为[-2,2],解 关于x 的不等式f(x-3)+f(x)≤0。 解:(1)由f(x+y)=f(x)+f(y),令 x=y=0,可得f(0)=2f(0),即f(0)=0。 (2)函数f(x)的定义域为 R,且关于原 点对称。令y=-x,可得f(0)=f(x)+ f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数。 (3)任取x1>x2,则x1-x2>0,所以 f(x1-x2)>0。因为f(x1-x2)=f(x1)+ f(-x2)=f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)> f(x2),所以函数f(x)是 R上的增函数。由 f(x-3)+f(x)≤0,可 得 f(x-3)≤ -f(x)=f(-x)。结合f(x)的定义域为 [-2,2]得 x-3≤-x, -2≤x-3≤2, -2≤x≤2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得1≤x≤ 3 2 。 故所求不等式的解集为 1, 3 2 。 作者单位:江苏省太仓市明德高级中学 (责任编辑 郭正华) 6 知识结构与拓展 高一数学 2023年10月 {#{QQABLYAUogAIABJAAAhCUwEgCkIQkAAACIoGxBAAoAAAgANABAA=}#} ■彭恒彪 由于抽象函数表现形式抽象,对数学思 维能力考查的起点较高,使得这类问题成为 函数内容的难点之一。下面介绍抽象函数的 常见类型与求解方法。 聚焦1:“赋值法”求抽象函数的值 赋值法就是根据题目的具体情况,合理、 巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1, -1等),从而使问题获得简捷有效的解决。 例1 已知y=f(x)+3x2 的图像关于 原点对称,若f(2)=3,函数g(x)=f(x)- 3x,则g(-2)的值是 。 解:因为y=f(x)+3x2 的图像关于原 点对称,所以f(-x)+3(-x)2=-[f(x) +3x2],即f(-x)=-f(x)-6x2。令x= 2,则