01 求函数的解析式的三种思维方法&02 借助函数性质，妙用“二级结论”解题-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■杨 立 求函数解析式常用换元法、构建二元方 程组消元法,以及赋值法。复合函数的解析 式由“对应关系和内层函数的值域”两部分构 成。下面就求函数解析式的思维方法进行归 纳,希望对同学们的学习有所帮助。 方法1:已知复合函数解析式,求外层函 数解析式用“换元法” 例 1 已 知 f(x -1)=x +2, 则( )。 A.f(x)=x2+2x+3(x≥0) B.f(x)=x2+2x+3(x≥-1) C.f(x)=x2-2x+3(x≥0) D.f(x)=x2-2x+3(x≥-1) 解:令t= x-1(t≥-1),则x=(t+ 1)2。由此可得f(t)=(t+1)2+2=t2+2t+ 3(t≥-1),所以f(x)=x2+2x+3(x≥ -1)。应选B。 提炼:已知复合函数f[g(x)]的表达式 求f(x)的解析式,可令g(x)=t,解出x,代 入f[g(x)]中即可求得 f(t),从而可得 f(x),但要注意新元g(x)=t的取值范围为 外层函数的定义域。 方法2:已知特殊二元变量满足的关系 式求解析式,利用“构建方程组消元法” 例2 已知函数f(x)满足f(x+1)- 2f x x+2 =x+1,则函数f(x)的解析式为 。 解:令x+1=s,即x=s-1。 结合题设得f(s)-2f s-1 s+1 =s(s≠ -1),所以f(x)-2f x-1 x+1 =x(x≠-1)。 用 x-1 x+1 替换x,可得f x-1 x+1 -2f -1x = x-1 x+1 (x≠ -1 且 x ≠ 0)。两 式 消 去 f x-1 x+1 得 f(x)-4f -1x =2x-2x+1 + x= x2+3x-2 x+1 ,再 用 - 1 x 替 换 x 可 得 f - 1 x - 4f (x ) = 1 x2 - 3 x-2 - 1 x+1 = 1-3x-2x2 x(x-1) (x≠0且x≠±1)。 据上 消 去 f - 1 x 可 得-15f(x)= x2+3x-2 x+1 + 4-12x-8x2 x(x-1) ,整 理 可 得 函 数 f(x)=- x4-6x3-25x2-6x+4 15x(x2-1) (x≠0且 x≠±1)。 提炼:构造方程组消元法,主要解决已知 抽象函数关系式求函数的解析式问题。如已 知af(x)+bf 1 x =g(x),求 f(x),由 af 1 x +bf(x)=g 1x ,把 f(x)和 f 1 x 作为未知数,解方程组可得f(x)。已 知af(x)+bf(-x)=g(x),求f(x),也可 用这种方法求解析式。 方法3:利用赋值法求抽象函数的解析式 例3 对任意实数x,y,都有f(x+y) -2f(y)=x2+2xy-y2+3x-3y,求函数 f(x)的解析式。 解法1:因为f(x+y)-2f(y)=x2+ 2xy-y2+3x-3y 对任意实数x,y 都成立, 所以令x=y=0,可得f(0)=0,再令y=0, 可得f(x)-2f(0)=x2+3x,所以f(x)= x2+3x(x∈R)。 解法2:令x=0,可得f(y)-2f(y)= -y2-3y,所以-f(y)=-y2-3y,所以 f(y)=y2+3y,再令y=x,可得 f(x)= x2+3x(x∈R)。 提炼:赋值法求函数的解析式的关键是 赋值,如何赋值要根据题目特征来确定。赋 值法求出解析式后,应注意函数的定义域。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) 3 知识结构与拓展 高一数学 2023年10月 {#{QQABJYAQgggoAAIAAQgCUwVQCkIQkACAAAoGhAAMsAAAQANABAA=}#} ■林春斌 在解决一些涉及函数性质(奇偶性、周期 性、对称性等)问题时,往往可以巧妙应用对 应的“二级结论”,直接得出相应的结果,这样 可以避免烦琐的推理过程,从而达到提高解 题效率的目的。 一、借助奇函数的“二级结论”解题 结论1:如果f(x)是奇函数且在x=0 处有意义,那么f(0)=0。 结论2:若奇函数f(x)在关于原点对称 的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0。 结论3:若f(x)是奇函数,且g(x)= f(x)+c,则g(-x)+g(x)=2c。 结论4:若f(x)是奇函数,且g(x)= f(x)+c,g(x)在 定 义 域 上 有 最 值,则 g(x)max+g(x)min=2c。 例1 已知函数f(x)= 2|x|+1-x+2 2|x|+1 的 最大值为 M,最小值为m,则 M+m 的值为 。 分析:通过化简并变形f(x)的表达式, 构建函数g(x)= x 2|x|+1 ,结合奇函数的“二 级结论”直接确定对应函数的