2.2.4均值不等式及其应用（第二课时）-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

2.2.4均值不等式及其应用（2） 老张想围一个矩形养鸡场，他现有篱笆材料200米，怎样围才最合适呢？希望你能用这节课的知识帮忙解决这个问题. 1.理解并掌握均值不等式及其变形.（重点） 2.会用均值不等式求最值问题和解决简单的实际问题.（难点） 探究点 利用均值不等式求最值 思考1：已知矩形的面积为100，则这个矩形长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ 【解析】设矩形的长与宽分别为与,则. 因为,,所以 所以 当且仅当时，等号成立，由 得. 因此，当矩形的长和宽都是10时，周长最短，最短周长为40. 若且（为常数）则 （当且仅当时取等号） 【总结】 所以 当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. （积定和最小） 思考2：已知矩形的周长为36，则这个矩形长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【解析】设矩形的长与宽分别为与,则,即 因为,,所以 所以 ，即. 当且仅当时，等号成立，由 得. 因此，当矩形的长和宽都是9时，面积最大，最大面积为81. 【总结】 若且（为常数）则 （当且仅当时取等号） 所以 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. （和定积最大） 求最值要注意三点： ⑴正数 ⑵定值 ⑶检验等号是否成立 例1 已知,求的最小值，并说明为何值时取得最小值. 【解析】因为,所以根据均值不等式有 等号成立当且仅当,即，解得或（舍） 因此，时，取得最小值2. 【注意】利用基本不等式求最值应注意的三点 (1)一定要是正数. (2)求积的最大值时,应看和是否为定值;求和的最小值时, 看积是否为定值. (3)等号是否能够取到. ⑴正 ⑵定 ⑶相等 跟踪训练：求函数（）的最大值，以及此时的值. 【解析】,因为, 所以 所以 所以 当且仅当，即，解得或（舍） 因此，的最大值是，此时. 例2 已知,求的最大值，以及取得最大值时的值. 【解析】当时,,因此. 由均值不等式可得 从而,即. 当且仅当,即时，等号成立. 因此，当时，取得最大值4. 跟踪训练：已知,求的最大值， 以及取得最大值时的值. 【解析】当时,,因此. 由均值不等式可得 从而,即. 当且仅当,即时，等号成立. 因此，当时，取得最大值. 例3 已知,,求的最小值. 【解析】因为, 所以 当且仅当时，即等号成立，由得. 因此，的最小值为16. “1”的代换 跟踪训练：已知,,求的最小值. 【解析】因为,,则. 所以 当且仅当时，即等号成立，由得. 因此，的最小值为8. 均值不等式 重要不等式 均值不等式的变形 利用均值不等式求最值 积定和最小，和定积最大. “1”的代换 一正、二定、三相等 求最值注意点 $$