微专题03：不等式的恒成立、能成立、恰成立-2023-2024学年高一数学上学期期中期末重要专题复习课课件（沪教版2020必修第一册）

第 2 章 等式与不等式 【沪教版2020】高中数学必修第一册 微专题：不等式的恒成立、能成立、恰成立 会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立与恰成立问题； 相关知识梳理 00. 不等式的恒成立问题 01. 不等式的恒成立问题 01. 转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 不等式的恒成立问题 01. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}. 不等式的恒成立问题 01. 【解析】原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}. (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ (2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔ 不等式的恒成立问题 01. 【解析】　令y＝x2＋mx＋4. ∵y<0在[1,2]上恒成立. ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2. ∴m的取值范围是{m|m<－5}. 在给定范围内的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题. 不等式的恒成立问题 01. 【解析】y<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题. 不等式的能成立问题 02. 不等式的能成立问题 02. 【解析】记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象知， 不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)一定有解， 即m＋5>0或2m＋8>0， 解得m>－5. （1）结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； （2）对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围. 不等式的能成立问题 02. 【解析】∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}. 能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围； 不等式的恰成立问题 03. 不等式的恰成立问题 03. 不等式的恰成立问题 03. 课堂练习 04. 课堂练习 04. 课堂练习 04. 课堂练习 04. 课堂练习 04. 课堂练习 04. 课堂练习 04. 4、已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围. 【解析】　y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0. ∵1≤m≤3， 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解. 课堂练习 04. 课堂练习 04. 课堂小结 05. 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题; 不等式成立问题的常规处理方式 （常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题， 也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）; 恒成立问题的解题依据 若不等式 在区间上恒成立，则等价于在区间 上 ； 若不等式 在区间 上恒成立，则等价于在区间 上 ． 例1、当 取何值时，一元二次不等式 对一切实数 都成立？ 【提示】合理运用二次函数的图像及其性质解题　 【解析】由已知结合二次函数的图像可得 ，解得 ． 所以当 时， 一元二次不等式 ，对一切实数 都成立． ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 例2、已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围； 【提示】注意二次项前面的系数　 【解析】当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立， ∴其图象都在