微专题04：三角不等式-2023-2024学年高一数学上学期期中期末重要专题复习课课件（沪教版2020必修第一册）

第 2 章 等式与不等式 【沪教版2020】高中数学必修第一册 微专题： 三角不等式 知识梳理 00. 说明1： 00. 说明2： 知识梳理 O A B 三角不等式 O A B 向量模三角不等式 绝对值三角不等式 三角不等式的几何解释 01. 三角不等式的代数证明 02. 三角不等式的代数证明 02. 三角不等式的变式与拓展 03. 三角不等式的变式与拓展 03. 三角不等式的变式与拓展 03. 三角不等式的变式与拓展 03. 三角不等式的变式与拓展 03. 三角不等式的变式与拓展 03. 三角不等式的变式与拓展 03. 三角不等式的变式与拓展 03. 方法归纳 三角不等式的变式与拓展 03. 课堂练习 04. 课堂练习 04. 课堂练习 04. 课堂练习 04. 课堂练习 04. 课堂小结 05. 由： 在本教材中：一些很重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式；统称为基本不等式； 三角不等式是本教材的新增内容， 与平均值不等式、常用不等式和三角不等式 统称为基本不等式； 三角不等式不仅是一个常用的基本不等式，名称来源于三角形两边之和大于第三边这一几何事实; 三角不等式:为前面的解不等式，证明不等式提供帮助；同时，为在后续学习向量、复数等知识乃至高等数学的学习中具有重要作用；而且，理解其推导与变形非常有必要；并且，其在求简单的最大或最小值和证明其他的一些不等式方面有广泛应用；并且，它在以后学习向量、复数，以及高等数学中都会出现，有着十分重要的意义，增加这部分内容是十分必要的 【证明】（方法1：分析法）为证明 ， 只需证明 ， 即 ，也就是 ， 所以，等号当且仅当 时成立； 【证明】（方法2：综合法）由 ， 则 ， 即 ， 所以， ， 所以，等号当且仅当 时成立； 定理（三角不等式）： 对任意的实数 、 ；有 ，且等号当且仅当 时成立； 【提示】注意：利用等价变形进行证明与探究“等号”成立条件与变式； 【证明】（方法3：利用 ） 由 ① ② 两式相加就有 ③， 将（ ）看作一个整体时【关键哦】，上面的③式逆用 ， 即可证明； 定理（三角不等式）： 对任意的实数 、 ；有 ，且等号当且仅当 时成立； 【提示】注意：利用等价变形进行证明与探究“等号”成立条件与变式； 【证明】方法1：分 或 或 三种可能； 当 时，不等式显然成立； 当 时， ，即 ， 等号成立的条件 且 ； 方法2：将三角不等式中， 取成“ ”， 取成“ ”，代入定理，移项即可； 等号当且仅当 ，即 时成立。 变式1：对任意的实数 、 ；证明： ，并指出等号成立的条件 【提示】注意：利用等价变形进行证明与探究“等号”成立条件与变式； 【证明】方法1：分 |或 或 三种可能。 当 时，显然成立； 当 时， ，即 ， 等号当且仅当 且 时成立。 方法2：将三角不等式中， 取成“ ”， 取成“ ”，代入定理，移项即可； 等号当且仅当 ，即 时成立。 变式2：对任意的实数 、 ；证明： ，并指出等号成立的条件； 【提示】注意：利用等价变形进行证明与探究“等号”成立条件与变式； 【证明】将三角不等式中， 取成“ ”， 取成“ ”， 有 ，则不等式成立； 等号当且仅当 ，即 时成立。 变式3：对任意的实数 、 ；证明： ，并指出等号成立的条件； 【提示】 ； 【证明】将三角不等式中， 取成“ ”， 取成“ ”， 有 ，则不等式成立； 等号当且仅当 ，即 时成立。 变式4：对任意的实数 、 ；证明： ，并指出等号成立的条件； 【提示】 【证明】由 且 ，两式相加，化简，则不等式成立； 等号当且仅当 且 ，即 时成立。 变式5：对任意的实数 、 ；证明： ，并指出等号成立的条件； 【提示】 ， ； 【证明】由以上三角不等式及其变式1，即可得原不等式成立； 右边：当且仅当 时，等号成立； 左边：若 ，则平方整理得 ， 等号当且仅当 且 时，等号成立； 变式6：对任意的实数 、 ；证明： ，并指出等号成立的条件； 【提示】注意：“代换法”，用好代换； 【说明】此时右边：当且仅当 时，等号成立； 左边：等号当且仅当 时，等号成立； 变式7：对任意的实数 、 ；证明： ，并指出等号成立的条件； 【提示】注意：“代换法”，用好代换； 【说明】此时，右边等号当且仅当 时，等号成立 左边等号当且仅当 时，等号成立； 变式8：对任意的实数 、 ；证明： ，并指出等号成立的条件；； 【提示】注意：“代换法”，用好代换； 在运用三角不等式证明其他的不等式吋， 一般都是先构造等式，再由等式放縮得到三角不等式； 教材中以拓展与证明“对任意的实数 、 ；证明： ， 并指出等号成立的条件”为例； 首先， ， 同理， ， 両式相加井同除以2即得要证明的不等式，用放縮法证明不等