22.2.7根与系数的关系 课件 2023--2024学年华东师大版九年级数学上册

22.2.7 根 与 系 数 的 关 系 华师版 九年 级 数 学 课 件 1 learning target 学习目标 1.理解并发现一元二次方程根与系数的关系并能验证. 2.不解方程能根据一元二次方程根与系数的关系解决一些基本问题. 3.能灵活运用一元二次方程根与系数的关系处理一些综合问题. 重、难点与关键 重点：理解一元二次方程根与系数的关系并能灵活运用. 难点：验证一元二次方程根与系数的关系并能处理一些综合问题. 关键：由一元二次方程的两根发现根与系数的关系. 2 观察并讨论：一元二次方程的两根x1+ x2，x1 • x2与对应的一元二次方程哪里有关系呢？ Knowledge-review 知识回顾 1.用合适的方法解下列一元二次方程并填空. 方 程 2 3 2 -1 2 -3 1 5 4 4 3 1 Self-inquiry 自我探究 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2. 思考：如何验证我们的猜想呢？ 证明： 由一元二次方程的求根公式可得： , 思考：x1+ x2，x1∙x2与对应的一元二次方程的系数与前面的关系还一样吗?你的发现又是什么？ 方 程 9x2-6x+1=0 3x2-4x-1=0 3x2+7x+2=0 Self-inquiry 自我探究 -2 2.下面的一元二次方程用什么方法计算快？请完成并填空. 猜想： Thinking promotion 思维提升 当二次项系数不为1时，方程 的两根为,则有 Thinking promotion 思维提升 思考：如何验证我们的猜想呢？ 证明： Thinking promotion 思维提升 任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1 + x2= , x1 ·x2= 韦达 注：能用根与系数的关系的前提条件为: b2-4ac≥0 Thinking promotion 思维提升 一元二次方程根与系数的关系最早是由被尊称为代数学之父的法国数学家韦达发现的，即后来举世闻名的“韦达定理”. 数学文化: 例1.不解方程，求下列方程两根的和与积. Typical case analysis 典例分析 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用x1+x2=－ 时，注意“－ ”不要漏写. 解题密码： 例2.设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. Typical case analysis 典例分析 解:由题意知 Typical case analysis 典例分析 与一元二次方程两根有关的代数式的值的计算需先变形转化为与两根之和、两根之积有关的式子，再整体代入求值. 解题密码： 例3.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1. 解:（x-2)（x-3）=0, x2-5x+6=0 Typical case analysis 典例分析 例4.方程 的两根的和为6，一根为2， 求p与q的值. 解:若方程的另一个根为x1,由题意得 2+x1=-p=6,2x1=q, 即x1=4,p=-6,q=8. 解题密码： 解题密码： 注意逆用乘法规律 灵活巧妙的运用两根之和与两根之积解决问题. 例5.方程 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围. 解:由已知得 即 m>0 m-1<0 ∴0<m<1 Typical case analysis 典例分析 解题密码： 方程有一个正根一个负根，意味着方程一定有两个不相等的实数根，因此可知△＞0，且两根之积＜0，然后再解不等式组. 一正根，一负根 △＞0 x1x2＜0 两个正根 △≥0 x1x2＞0 x1+x2＞0 两个负根 △≥0 x1x2＞0 x1+x2＜0 Method summary 方法总结 思考：从例5你还能得到其它的启示吗？ 解：由根与系数的关系可知： ∴（α+3）（β+3）=αβ+α+β+9=－3+1+9=7 1.已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，求（α+3）（β+3）的值. 利用根与系数的关系