4.3.1等比数列的概念与通项公式课件(1)-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

4.3.1 等比数列的概念 高二数学备课组 1 学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 情境1：两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列： ； ① ； ② . ③ 请看下面几个问题中的数列 情境导入 情境2： “一尺之捶，日取其半，万世不竭” 一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之捶”视为1份，那么每日剩下的部分依次为 … ④ 情境3：细胞分类 某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为 1，2，4，8，16，··· ⑤ 情境导入 情境4：银行存款 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是： ⑥ 课堂探究 观察，并说出它们的运算特点. （1）… （2）… （3）… （4） （5）1，2，4，8，16，32，… （6） 共同特点： 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 新课引入 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数，那么这个数列就叫做___________常数叫做等 数列的_____，公比通常用字母 q 表示 二 比 同 等比数列 公比 比 等比数列的概念 即 或 ⁠ 1.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数,则该数列一定是等比数列吗? 提示:不一定,根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数列. 2.等比数列的首项不为零,公比可以为零吗?其它项是否可以为零? 提示:不能. 3.常数列一定是等比数列吗? 提示:不一定,如0,0,0,…. ⁠ 1.下列数列为等比数列的是(　　) A.2,22,3×22,… B.,,,… C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,… D.0,0,0,… 解析:B　A、C、D不是等比数列,A中不满足定义,C项可为0, 不符合定义. 2.若-1,b,-9成等比数列,则b＝ 　　　　⁠.  解析:由等比数列定义知＝,即b2＝9,故b＝±3. 答案:±3 对等比数列的定义的理解 (1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； (2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”； (3) 任意一项 (4)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即 或 . 特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为非零常数列， 非零常数列是特殊的等比数列． 【例1】　已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn＝(an-1)(n∈N*) (1)求a1,a2; 解　(1)由S1＝(a1-1), 得a1＝(a1-1),所以a1＝-. 又S2＝(a2-1), 即a1＋a2＝(a2-1), 得a2＝. 例题解析 题型一 等比数列的判定 (2)求证:数列{an}是等比数列. (2)证明: 当n≥2时,an＝Sn-Sn-1 ＝(an-1)-(an-1-1), 得＝-. 又a1＝-, 所以{an}是首项为- ,公比为- 的 等比数列. 可利用等比数列的定义来判断一个数列是否为等比数列 ⇔{an}是等比数列 或 ⇔{an}是等比数列 类比等差数列，在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等比数列： (1) 2，( )，8 (2) -12，( )，-3 4或-4 6或-6 由三个数a，G，b组成的等比数列可以看成是最简单的等比数列. 这时，G叫做a与b的等比中项 且G2＝ab. 课堂探究 注： G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同， 符号相反的两个实数不存在等比中项 ，即等比中项有两个，且互为相反数． (2) 反过来，当时，G不一定是a与b的等比中项． 例如 ，但0,0,5不是等比数列． 12 （三维P95） 例题解析 例2 增加什么条件可以使得该数列为等比数列？ 课堂练习 在数列中，若，且 . 证明：数列是等比数列. 证明： （法一 定义法） 因为 ，所以 . 又 因为 所以 所以数列是首项为，公比为2的等比数列. 例题解析 等比数列的判定与证明 课堂练习 证明： （法二 等比中项法）