2.2.3 直线的一般式方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2.2.3　直线的一般式方程 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式． 2．掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化． 重点难点 重点：直线方程的一般式及与方程其他形式的互化． 难点：各种形式的直线方程的灵活应用. 一直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)概念 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)称为直线的一般式方程． (2)几何意义 ①当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线． ②当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成x＝－，它表示垂直于x轴的直线． 2．直线方程的五种形式的比较 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上一点，k是斜率 不垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴的直线 两点式 (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)·(y－y1)＝0 (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 过任意不同的两点 截距式 ＋＝1(a≠0，b≠0) a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) A，B，C为系数 任何情况 1.(多选)直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥x轴，则直线l的方程可以用下面哪种形式写出(　 ) A．点斜式 　　　　 B．斜截式 C．截距式 　　　　　 D．一般式 答案：ABD 2．经过点A(8，－2)，斜率为－2的直线方程为(　 ) A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－12＝0 C．2x＋y－14＝0 D．x＋2y＋4＝0 答案：C 3．(多选)关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的有(　 ) A．过点(，－2) B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1 答案：BC (二)直线的方向向量与法向量 1．直线的方向向量 (1)我们把与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量． (2)斜率与方向向量的关系 斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍． 2．直线的法向量 与直线l垂直的非零向量n＝(A，B)称为直线l的法向量． 1．判断正误 (1)如果A(2,1)，B(0,2)是直线l上不同的两点，则＝(－2,1)是直线l的一个方向向量．(　 ) (2)一条直线的方向向量与法向量互相垂直．(　 ) 答案：(1)√　(2)√ 2．(多选)已知直线l经过点A(2,1)与B(0,2)，则以下向量可以作为直线l的一个方向向量的是(　 ) A．a＝(1,2) B．a＝(－4,2) C．a＝(－2，－1) D．a＝(4，－2) 解析：选BD　因为＝(－2,1)，所以2＝(－4,2)，故a＝(－4,2)与共线，可以作为直线l的一个方向向量．同理，a＝(4，－2)也可以作为直线l的一个方向向量，故选B、D. 3．如果直线l的一个方向向量是v＝(－1,3)，一个法向量是u＝(－3，a)，则a＝________. 解析：因为v＝(－1,3)和u＝(－3，a)分别是直线l的一个方向向量和一个法向量，所以v·u＝0，即(－1)×(－3)＋3a＝0，解得a＝－1. 答案：－1 [题点一] 直线的一般式方程 [典例]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1. [解]　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2， 即4x－y－2＝0. (3)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (4)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. [方法技巧] 关于直线的一般式方程与其他形式的方程 一般情况下，直线方程的一般式与直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以进行互化，但是最常用的是一般式化为斜截式，可以得出斜率、纵截距，用于作图或转化解题．　　 [对点训练] 　已知直线l经过点A(2,1)，B(3,3)，求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距． 解：因为kl＝＝2，所以点斜式方程为y－1＝2(x－2)，斜截式为y＝2x－3，一般式为2x－y－3＝0，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－3. [题点二] 由截距、斜率的值求参数 [典例]　设直线l的方程为(m2－m－6)x＋(3m