2.1 直线的斜率（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

　 2．1　直线的斜率 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式． 重点难点 重点：过两点的直线斜率的计算公式． 难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系. (一)直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角α＝0.因此，直线的倾斜角α的取值范围为{α|0≤α＜π} 直线l的倾斜角α与斜率k的对应关系 直线情况 垂直于y轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0，且随着α的增大而增大 不存在 k<0，且随着α的增大而增大 1．给出下列结论： ①任意一条直线都有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)； ⑤若α是直线l的倾斜角，且sin α＝，则α＝45°. 其中正确的个数是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 2．下列图形中，α表示直线的倾斜角的是(　 ) 答案：B 3．已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为15°，则直线l的倾斜角为________． 答案：105°或75° (二)直线的斜率 (1)一条直线的倾斜角α的正切值k称为这条直线的斜率，即k＝tan_α. (2)对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线l的斜率公式是k＝(x1≠x2)． (1)斜率公式不适用于直线与x轴垂直(x1＝x2)的情况，在使用斜率公式时，若两点的横坐标含有参数，则要注意分类讨论． (2)直线l上P，Q两点的选取是任意的，即P，Q无论怎样选取都不会影响斜率k的最终结果． (3)P，Q两点的纵坐标和横坐标在斜率公式中的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝. (4)若y1＝y2，x1≠x2，则直线与x轴平行或重合，斜率k＝0. 1．直线x＝2 023的斜率为(　 ) A．1 B．0 C．2 023 D．不存在 答案：D 2．已知两点A(－1,2)，B(3,4)，则直线AB的斜率为(　 ) A．2 B．－ C. D．－2 答案：C 3．若过点P(－1，m)和Q(m,5)的直线的斜率等于，那么m＝________. 答案：3 [题点一] 直线的倾斜角 [典例]　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　 ) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α＋45°或α－135° [解析]　由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)． [答案]　D [方法技巧] 求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出示意图，找准倾斜角，同时还要根据旋转方向和旋转大小进行分类讨论．　　 [对点训练] 1．已知直线l的倾斜角为α，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为(　 ) A．α B．90°－α C．180°－α D．90°＋α 解析：选C　根据倾斜角的定义，并结合图形(图略)知，所求直线的倾斜角为180°－α. 2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________． 解析：如图，设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°. 答案：135° [题点二] 直线的斜率 [典例]　(1)若过点A(4，m)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则m＝________. (2)若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，则k的值为______．　 (3)已知斜率为2的直线l与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l′，则直线l′的斜率为________．　 [解析]　(1)由直线的倾斜角为135°，得斜率为k＝tan 135°＝－1.再由斜率公式，得＝－1，解得m＝－5. (2)∵点A，B，C在同一条直线上，且三点的横坐标均不相等，则kAB