第4章 计数原理 章末小结与质量评价（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效地将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键，并且分类科学、标准统一、不重复、不遗漏，体现出分类与整合的思想． 2．在排列组合的有关问题中，首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题，在排列组合的综合问题中，若直接解决比较困难时，可进行反面考虑，通过排除，即可使诸多较为复杂的问题简单化，体现了正难则反的思想方法． 3．化归与转化的思想是指在解决问题的过程中，通过某种转化，把待解决或难解决的问题归结为一类已解决或易解决的问题．在解决排列、组合问题，特别是“至多”“至少”问题时，可以转化为从其反面考虑，用间接法求解．在与二项式定理有关的问题中，主要是多项式转化为二项式求解． 二、把握重点·常考题型集训 题型一　两个计数原理的应用　 1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有(　 ) A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 解析：选C　分3类，买1本书，买2本书，买3本书， 各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种)． 2．设5名男同学报名参加同一时间安排的4种课外活动的方案有a种；5名女同学在运动会上共同争夺跳高、跳远、铅球、跑步4项比赛的冠军的可能结果有b种，则为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　每名同学报名有4种选择，5名同学报名就有45种选择，所以a＝45；每项冠军归属结果有5种可能，4项冠军则有54种可能结果，所以b＝54.所以(a，b)＝(45,54)．故选A. 3．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆的个数是________． 解析：以m的值为标准分类，分五类： 第1类，当m＝1时，使n>m，n有6种选择； 第2类，当m＝2时，使n>m，n有5种选择； 第3类，当m＝3时，使n>m，n有4种选择； 第4类，当m＝4时，使n>m，n有3种选择； 第5类，当m＝5时，使n>m，n有2种选择． 所以一共可以表示6＋5＋4＋3＋2＝20(个)焦点在y轴上的椭圆． 答案：20 [题型技法] 使用两个原理解决问题时应注意的问题 对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．　　 题型二　排列组合问题　 4．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为(　 ) A．24 B．18 C．12 D．6 解析：选C　根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0,2中选一个数字为个位数，有2种可能．从1,3,5中选两个数字为十位数和百位数，有A＝3×2＝6种可能．故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2×6＝12. 5.如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D，E，F，则从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形的个数为(　 ) A．4 B．6 C．10 D．11 解析：选C　从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形有两类： 第一类，两个中点和一个顶点构成的三角形，共有CC＝9(个)； 第二类，三个中点构成的三角形，共有C＝1(个)．由分类加法计数原理，知面积为的三角形的个数为9＋1＝10. 6．(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并且不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　 ) A．若1班不再分配名额，则共有C种分配方法 B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有C种分配方法 C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 解析：选BD　对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有C种分配方法，故A错误； 对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据插空法，有C种分配方法，故B正确； 对于C、D，若每个班至少3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分到6个班级，分5类：①4个名额到一个班，有6种；②一个班3个名额，一个班1个名额，有A＝30种；③两个班都是2个名额，有