3.5 圆锥曲线的应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

3．5　圆锥曲线的应用 明学习目标 知结构体系 课标要求 在实际问题中，用圆锥曲线解决． 重点难点 重点：抛物线、双曲线的实际应用． 难点：在实际问题中建立数学模型. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ————————————————————————————————— 椭圆的应用 ————————————————————————————————————— [典例]　我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)． [解]　设探测器的运行轨道方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝. ∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396. 于是b2＝a2－c2＝35 028. ∴探测器的运行轨道方程为＋＝1. 设变轨时，探测器位于点P(x0，y0)，则 x＋y＝ab≈81 975.1　①， ＋＝1　②， 由①②得x0≈239.7，y0≈156.7. ∴－R≈187(百公里)． 故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里． [方法技巧] 处理与椭圆有关的实际问题的一般步骤是：先结合所给的图形及题意建立适当的平面直角坐标系，然后利用相关的几何知识分析问题． 注意：椭圆上一点到焦点的距离d的取值范围为a－c≤d≤a＋c.　　 [对点训练] 　椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B分别是它的左、右焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是(　 ) A．4a B．2(a－c) C．2(a＋c) D．以上答案均有可能 解析：选D　①静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；②静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；③静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁非左、右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.综上可知，三种情况均有可能． ——————————————————————————————————— 双曲线的应用 ————————————————————————————————————— [典例]　双曲线定位是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位．通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位．我们来看一种简单的“特殊”状况．如图所示，已知三个发射台分别为A，B，C且刚好三点共线，已知AB＝34海里，AC＝20海里，现以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建系(单位长度为1海里)．现根据船P接收到C与A发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P在双曲线－＝1的左支上，根据船P接收到A与B发出的电磁波的时间差，计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离多30海里，则点P的坐标为(　 ) A.，± B.，± C.17，± D．(45，±16) [解析]　设由船P到B和到A的距离差确定的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0，x≥a)，由于船 P到B和到A的距离差为30海里，因此a＝15. 又AB＝34海里，故c＝17，故b2＝c2－a2＝64. 故由船P到B和到A的距离差所确定的双曲线为－＝1(x≥15)， 联立 可得P. [答案]　B [方法技巧] 实际问题中的双曲线应用方法 对于实际问题，首先要读懂题意，将具体的实际问题抽象为数学问题，即把文字语言化为数学语言(符号或图形)，建立双曲线模型，将问题转化为动点轨迹，再借助于方程研究问题．　　 [对点训练] 某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处，如图所示，PA＝100 m，PB＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工． 解：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系．设M是分界线上的点，则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是有|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50.这说明这条分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，在