3.3.1 抛物线的标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

3．3.1　抛物线的标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程． 重点 难点 重点：抛物线的定义、标准方程． 难点：抛物线标准方程定义及标准方程的应用. (一)抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l∉F)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 对抛物线定义的理解 (1)抛物线的定义可归结为“一动三定”：“一动”即一个动点，设为M；“三定”即一个定点F、一条定直线l、一个定值(即动点M与定点F和定直线l的距离的比值为常数1)． (2)定义中的隐含条件：定点F不在准线l上，这是动点轨迹为抛物线的必要条件，否则，若定点F在定直线l上，则动点轨迹为过定点F且和定直线l垂直的一条直线． 　过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　 ) A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 解析：选D　由题意知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故选D. (二)抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种不同的形式 图象 标准 方程 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0) 焦点 坐标 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ p的几 何意义 焦点到准线的距离 四种标准方程对应的抛物线的比较 相同点 不同点 (1)顶点都在原点． (2)焦点都在坐标轴上． (3)焦点到准线的距离都是p. (4)准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于 (1)当焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；当焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2. (2)开口方向与x轴(或y轴)的正方向相同时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程一次项的系数为正数；开口方向与x轴(或y轴)的正方向相反时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程一次项的系数为负数 1．抛物线x2＝－2y的焦点坐标是(　 ) A. B. C．(1,0) D．(－1,0) 答案：B 2．抛物线y＝－x2的准线方程为________． 答案：y＝2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ————————————————————————————————— 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程 ——————————————————————————————————— [典例]　根据下列抛物线方程，分别求出其焦点坐标和准线方程． (1)y2＝－4x；(2)2y2－x＝0. [解]　(1)∵y2＝－4x， ∴抛物线的焦点在x轴的负半轴上， 又2p＝4，∴p＝2. ∴焦点坐标为(－1,0)，准线方程为x＝1. (2)由2y2－x＝0，得y2＝x. ∴抛物线的焦点在x轴的正半轴上， 又2p＝，∴p＝ ∴焦点坐标为，准线方程为x＝－. [方法技巧] 此类问题是抛物线标准方程的应用，一是要理解抛物线标准方程的结构形式，二是要理解p的几何意义，三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系． 步骤：①化为标准方程；②明确开口方向；③求p值；④写焦点坐标和准线方程．　　 [对点训练] 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y＝－x2；(2)x2＝ay(a≠0)． 解：(1)将抛物线方程y＝－x2变形为x2＝－8y，所以抛物线的焦点在y轴的负半轴上，又2p＝8，所以p＝4.所以焦点坐标为(0，－2)，准线方程为y＝2. (2)当a>0时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，又2p＝a，所以焦点坐标为，准线方程为y＝－； 当a<0时，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，又2p＝－a，所以焦点坐标为，准线方程为y＝－. 综上，抛物线焦点坐标为，准线方程为y＝－. ————————————————————————————————— 求抛物线的标准方程 ————————————————————————————————————— [典例]　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． [解]　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2， 故抛物线焦点在y轴的正半轴上， 设其方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2， ∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y 中， 得(－4)2＝2