3.2.2 双曲线的简单几何性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

3．2.2　双曲线的简单几何性质 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率). 2.能用双曲线的简单几何性质解决问题． 重点 难点 重点：双曲线的几何性质． 难点：双曲线几何性质的应用. (一)双曲线的范围、对称性和顶点 标准方程 －＝1 －＝1 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) 性质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点 顶点 坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a；半虚轴长：b (1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线． (2)当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的． (3)双曲线的实轴长不一定大于虚轴长，这要和椭圆的长轴长大于短轴长区别开来． (4)双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的地方(椭圆有四个顶点)，虚轴的两个端点不是双曲线的顶点，只是为了给出b的几何意义而定义的． (5)双曲线的焦点总在实轴所在的直线上，而椭圆的焦点总在长轴上． 1．双曲线－＝1的顶点坐标是(　 ) A．(±5,0) B．(±5,0)或(0，±3) C．(±4,0) D．(±4,0)或(0，±3) 解析：选A　由双曲线方程可知顶点在x轴上，又a2＝25，∴a＝5，∴顶点坐标为(±5,0)，故选A. 2．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　 ) A．x2－＝1 B．y2－＝1 C.－＝1或－＝1 D．x2－＝1或y2－＝1 解析：选D　由题意知2a＝2,2b＝4，∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4，又双曲线的焦点位置不确定，故选D. (二)双曲线的渐近线 双曲线－＝1在无限延伸的过程中无限接近两条直线y＝±x，这两条直线称为双曲线的渐近线． 双曲线的标准方程与渐近线方程 双曲线的 标准方程 －＝1 －＝1 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) 图形 渐近线 直线y＝±x 直线y＝±x 双曲线与 渐近线的关系 双曲线在渐近线的左、右两个区域，与渐近线无限靠近但不相交 双曲线在渐近线的上、下两个区域，与渐近线无限靠近但不相交 1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为(　 ) A．x2－y2＝ B．x2－y2＝1 C．x2－y2＝ D．x2－y2＝2 解析：选D　因为曲线－＝1(a＞0，b＞0)为等轴双曲线，所以a2＝b2，所以c＝＝a，即焦点的坐标为(±a,0)，其渐近线方程为x±y＝0，因为焦点到渐近线的距离为，所以＝a＝，故双曲线的标准方程为－＝1，即x2－y2＝2.故选D. 2．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________． 解析：令－＝0，解得y＝±x. 答案：y＝±x (三)双曲线的离心率 定义 双曲线的半焦距与实半轴长的比e＝叫作双曲线的离心率 范围 [1，＋∞) 双曲线形状与e的关系 由等式c2＝a2＋b2，得＝＝＝. 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度． 1．双曲线－＝1的离心率是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　由双曲线－＝1，得a2＝4，b2＝3，∴c2＝a2＋b2＝7，∴a＝2，c＝，∴e＝＝，故选C. 2．若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为，则a＝________. 解析：由题意可得，＝，得a2＝16，又a＞0，所以a＝4. 答案：4 (四)直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将y＝kx＋m代入－＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. ①当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点． ②当b2－a2k2≠0，即k≠±时，判别式Δ＞0⇔直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式Δ＜0⇔直线与双曲线相离，没有公共点． 1．双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径．对于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，将x＝c代入双曲线的方程可得＝－1＝＝，所以直线x＝c与双曲线的两个交点为A，B，计算得通径长|AB|＝.同理，可求得双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的通径长也是. 2．双曲线的焦点弦的最小值 若焦点弦与双曲线的交点在同