检测评价31 圆锥曲线的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

4 / 4 “四翼”检测评价（三十一） 圆锥曲线的应用 1．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为(　 ) A．8 B．2 C．4 D．4 解析：选C　由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，易知长轴长2a＝8，短轴长2b＝4，所以a＝4，b＝2，所以c＝＝2，因此焦距2c＝4.故选C. 2.从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD＝1，则该双曲线的焦距为(　 ) A. B. C．2 D. 解析：选C　如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则该双曲线过点(，)，且a＝1，所以－＝1，解得b2＝2.所以c2＝a2＋b2＝3，得c＝.所以该双曲线的焦距为2. 3.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点(　 ) A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m 解析：选B　若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处．如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程x2＝2py (p>0)，集光板端点A(1,0.25) ，代入抛物线方程，得2p＝4，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0,1)．所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m．故选B. 4.人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线．如图，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2－y2＝1，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点)，∠F1F2P的大小为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　双曲线的标准方程为x2－y2＝1，则a＝1，b＝1，c＝. 设PF2＝m(m>0)，则PF1＝2＋m. 所以m2＋(m＋2)2＝(2)2，解得m＝－1(m＝－－1舍去)．所以cos∠F1F2P＝＝，所以∠F1F2P＝. 5．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆＋＝1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为________． 解析：依题意可知光线经两次椭圆壁反射后回到F点，故根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a＝4×3＝12. 答案：12 6．我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为d，双曲线C的两条渐近线与直线y＝1，y＝－1以及双曲线C的右支围成的图形(如图中阴影部分所示)绕y轴旋转一周所得几何体的体积为dcπ(其中c2＝a2＋b2)，则双曲线的离心率为________． 解析：由题意知渐近线方程为y＝±x，右焦点为F(c,0)，∴d＝＝b.由得x＝.由得x＝＝.∴阴影部分绕y轴旋转一周所得几何体的体积V＝2π＝2πa2＝dcπ＝bcπ，即a2＝bc.∴2a4＝b2c2＝(c2－a2)c2，即2a4＝c4－a2c2.∴e4－e2－2＝0，解得e2＝2.∴e＝. 答案： 7.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2π.记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD.已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线C的离心率为________． 解析：以矩形ABCD的中心为原点，圆锥中轴为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由圆锥的底面直径均为4可得底面半径r＝2，侧面积均为2π可得OA＝，AM＝2，则OM＝1，则tan∠AOM＝2，即＝2，所以e＝＝＝. 答案： 8.连霍高速公路的某隧道