检测评价30 曲线与方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

4 / 4 “四翼”检测评价（三十） 曲线与方程 (一)基础落实 1．“点M在曲线y2＝8x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2 ”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 2．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲线是(　 ) A．一个点　 B．一条直线 C．一个圆 D．两条线段 解析：选A　方程可化为(x＋1)2＋22＝0， 所以即它表示点.故选A. 3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是(　 ) 解析：选B　方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B. 4．已知平面直角坐标系中的两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为坐标原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　 ) A．两个点 B．直线 C．圆 D．射线 解析：选B　设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，因为＝λ1＋λ2，所以又λ1＋λ2＝1，所以x＋2y－5＝0， 故点C的轨迹为一条直线． 5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于(　 ) A．9π B．8π C．4π D．π 解析：选C　设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，知＝2，化简整理，得(x－2)2＋y2＝4，所以动点P的轨迹是圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π. 6．已知动点M(x，y)到直线l：3x＋4y＋1＝0的距离等于1，则点M的轨迹方程为____________________． 解析：由题意知＝1，∴3x＋4y＋1＝±5. 故点M的轨迹方程为3x＋4y＋6＝0或3x＋4y－4＝0. 答案：3x＋4y＋6＝0或3x＋4y－4＝0 7.如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称且·＝4，则动点P的轨迹方程为______________． 解析：由已知M(0，y)，N(x，－y)， 则·＝(x，y)·(x，－2y) ＝x2－2y2＝4，即－＝1. 答案：－＝1 8.如图，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.求动点P的轨迹C的方程． 解：设P(x，y)，则Q(－1，y)． ∴＝(x＋1,0)，＝(2，－y)． ＝(x－1，y)，＝(－2，y)． 由·＝·，得 2(x＋1)＋0·(－y)＝－2(x－1)＋y2， 整理得y2＝4x. 即动点P的轨迹C的方程为y2＝4x. 9．已知△ABC中，三边c>b>a，且a，b，c成等差数列，b＝2，试求顶点B的轨迹方程． 解：如图，以AC所在的直线为x轴，AC的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 由于b＝|AC|＝2，则A点坐标为(－1,0)，C点坐标为(1,0)．因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c， 即4＝|BC|＋|AB|. 设B点坐标为(x，y)，则|AB|＝， |BC|＝. 所以4＝＋. 移项，两边平方并整理，得4－x＝2， 两边再平方，并整理，得3x2＋4y2＝12. 方程两边同除以12，得＋＝1. 又c>a，即|AB|>|BC|，且A，B，C三点不共线， 所以0<x<2.所以适合题意的动点B的轨迹方程为＋＝1(0<x<2)． (二)综合应用 1．已知2log2y＝2＋log2x，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为(　 ) 解析：选A　由2log2y＝2＋log2x，得log2y2＝log24x，故点M(x，y)的轨迹方程为y2＝4x(x>0，y>0)，即y＝2(x>0)．故选A. 2．方程|x－1|＋|y－1|＝1所表示的曲线围成的图形面积为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　当x≥1，y≥1时，方程等价为x＋y－3＝0；当x≥1，y≤1时，方程等价为x－y－1＝0；当x≤1，y≥1时，方程等价为x－y＋1＝0；当x≤1，y≤1时，方程等价为x＋y－1＝0.对应的图象如图所示，则围成的图形为正方形，其中B(0,1)，C(1,0)，则BC＝，故所求图形的面积为×＝2. 3．以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆，是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0，λ≠1)的动点M的轨迹．已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足＝，此时阿波罗尼斯圆的方程为_________． 解析：设M(x，y)， 因为＝，所以＝， 两边平方并化简，得x2＋y2－12x＋4＝0. 经检验，上式就是所求圆的方程． 答案：x2＋y2－12x＋4＝0 4．设点P是圆x2＋y2＝4上的任一点，定点D的坐标为(8,0)，若点M满足＝2.当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程