检测评价27 双曲线的简单几何性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

6 / 6 “四翼”检测评价（二十七） 双曲线的简单几何性质 (一)基础落实 1．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是(　 ) A．a＝1 B．0<a<1 C．a>1 D．a≥1 解析：选D　等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.故选D. 2．若点P(2,0)到双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　∵渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0， ∴＝1，∴a2＝3，∴c2＝4， ∴e＝＝＝.故选D. 3．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　 ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选C　由双曲线的几何性质，得双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，∴a＝2.故选C. 4．(多选)已知双曲线C：－y2＝1，下列对双曲线C判断正确的是(　 ) A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4 C．离心率为 D．渐近线方程为x±y＝0 解析：选BD　∵双曲线C：－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2，∴双曲线的实轴长是2a＝2，虚轴长是2b＝2，A错误；焦距为2c＝4，B正确；离心率为＝，C错误；渐近线方程为y＝±x，D正确．故选B、D. 5．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，P是双曲线C上一点，且∠F1PF2＝60°.若△F1PF2的面积为4，则a＝(　 ) A．1 B．2 C．4 D. 解析：选D　设|PF2|＝m，|PF1|＝n.由∠F1PF2＝60°，△F1PF2的面积为4， 得 即 ∴c2＝a2＋4，由离心率e＝＝，得a＝.故选D. 6．已知双曲线－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为______________． 解析：由题意，得a2＝m，b2＝m＋6，则实轴长为2，虚轴长为2，由题意有2×2＝2，解得m＝2，代入－＝1，得双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 7．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的直线，与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝________. 解析：依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为(－2,0)，直线AB的方程为y＝(x＋2)． 由得8x2－4x－13＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以|AB|＝ ·|x1－x2| ＝ ＝ ＝3. 答案：3 8．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________． 解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y＝±x， 不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，将y＝(x－5)代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，所以B， 所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)|yB|＝×(5－3)×＝. 答案： 9．设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． 解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 又b2＝c2－a2， ∴16a2(c2－a2)＝3c4，两边同时除以a4， 得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝.又b>a， ∴e2＝＝1＋>2，则e＝2.故双曲线的离心率为2. 10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状． 解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝， 故设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 则有解得a2＝3，b2＝2. 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)△MF1F2是钝角三角形．不妨设M点在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，边MF1最长， 而cos∠MF2F1＝<0， 所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形． (二)综合应用 1．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是(　 ) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的