检测评价23 椭圆的标准方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1 / 5 “四翼”检测评价（二十三） 椭圆的标准方程 (一)基础落实 1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　 ) A．4 B．5 C．8 D．10 解析：选D　由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选D. 2．如果方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(　 ) A．(3,4) B. C. D. 解析：选D　∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴4－m>0，m－3>0且m－3>4－m，解得<m<4.故选D. 3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选C　由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.故选C. 4．(多选)下列说法不正确的是(　 ) A．椭圆＋＝1的焦点坐标为(－5,0)，(5,0) B．椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，－1)，(0,1) C．椭圆＋＝1与＋＝1(m＞0)的焦点坐标相同 D．已知△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，2|BC|＝|AB|＋|AC|，则顶点A的轨迹方程为＋＝1 解析：选ACD　对于A，因为椭圆方程为＋＝1,169＞144，所以焦点在y轴上，故A错误；对于B，因为椭圆方程为＋＝1，m2＋1＞m2，所以焦点在y轴上，又c2＝m2＋1－m2＝1，所以焦点坐标为(0，±1)，故B正确；对于C，椭圆＋＝1的焦点坐标为(±3,0)，又椭圆方程＋＝1(m＞0)中m＋4＞m－5，所以椭圆＋＝1(m＞0)的焦点在y轴上，故C错误；对于D，由条件可知|AB|＋|AC|＝2|BC|＝12＞|BC|＝6，且A，B，C三点不共线，所以顶点A的轨迹是以B，C为焦点，且长轴长为12的椭圆去掉(±6,0)这两个点，所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±6)，故D错误．故选A、C、D. 5．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是________． 解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，根据题意得解得故椭圆的标准方程是＋x2＝1. 答案：＋x2＝1 6．写出一个与椭圆C：＋＝1有公共焦点的椭圆方程__________． 解析：由题可知椭圆方程的形式应为＋＝1(m＞－3，且m≠0)，可取m＝5(答案不唯一)． 答案：＋＝1(答案不唯一) 7．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝3，则△PF1F2的面积为___________． 解析：由椭圆方程可知a2＝12⇒a＝2，b2＝3， 则c2＝9⇒c＝3，∵|OP|＝3，∴PF1⊥PF2， ∵|PF1|＋|PF2|＝4，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝48， 即4c2＋2|PF1||PF2|＝48，即36＋2|PF1||PF2|＝48，解得|PF1||PF2|＝6， S△PF1F2＝×|PF1|×|PF2|＝3. 答案：3 8．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)； (2) c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 解： (1)由焦距是4可得c＝2，又焦点在y轴上， ∴焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知， 2a＝＋＝8， ∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝16－4＝12. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又c∶a＝5∶13， ∴c＝5，∴b2＝a2－c2＝132－52＝144， ∵焦点所在的坐标轴不确定， ∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值． 解：(1)依题意知，c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，∴a2－a2＝1，即a2＝1，∴a2＝4，b2＝3， 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由于点P在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4. 又|PF1|－|PF2|＝1，∴|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2c＝2，∴由余弦定理， 得cos ∠F1PF2＝＝. (二)综合应用 1．(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　 ) A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 解析：选BC　由题意知，定点F1(0，－3)，F2(0,3)，可得|F1F2|＝6，∵a>0，可得|PF1