2.7 用坐标方法解决几何问题（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

开始 考查内容3·4 浸润学科素养和核心价值 01 02 目 录 考查内容2 强化关键能力 2 2．7　用坐标方法解决几何问题 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.体会坐标法在几何中的应用． 2．会应用坐标法解决解析几何问题． 重点难点 重点：会用坐标法求轨迹方程． 难点：理解坐标法在解析几何中的应用. [题点一] 利用坐标法证明几何问题 [典例]　在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，|OA|＝8，|OB|＝6，点P为它的内切圆C上任一点，求证：点P到顶点A，B，O的距离的平方和d∈[72,84]． 设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A，B，O的距离的平方和为d，则d＝|PA|2＋|PB|2＋|PO|2 ＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2 ＝3x2＋3y2－16x－12y＋100 ＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76. ∵点P(x，y)在圆上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4. ∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x. ∵点P(x，y)是圆C上的任意点，∴x∈[0,4]． ∴当x＝0时，dmax＝88，当x＝4时，dmin＝72. 即：点P到顶点A，B，O的距离的平方和d∈[72,84]． [方法技巧] 坐标法的基本步骤 第一步：建立坐标系用坐标表示有关量． 第二步：进行有关代数运算． 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．　　 [对点训练] 　 已知三角形ABC，AD为三角形的中线，求证： 2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2＝4|AD|2. 证明：以BC所在的直线为x轴，以BC的中点D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 设B(－a,0)，C(a,0)，A(x，y)．从而|AB|2＝(x＋a)2＋y2， |AC|2＝(x－a)2＋y2. |BC|2＝4a2，|AD|2＝x2＋y2， 所以2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2 ＝4x2＋4y2＝4(x2＋y2)， 所以2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2＝4|AD|2. [题点二] 求曲线的方程 [典例]　设A(－c,0)，B(c,0)(c＞0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a＞0)，求P点的轨迹． [方法技巧] 到两定点的距离的比为定值的点的轨迹可以是圆，丰富了圆的定义，这种方法为求轨迹的一种基本方法：“解析法”．　　 答案：C　 2．在已知直线2x－y＝0上存在一点P，使它到点M(5,8)的距离为5，求直线PM的方程． 注重实践应用 3．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是(　 ) A．10 B．11 C．12 D．13 答案：A　 4．已知正三角形ABC的边长为a，在平面ABC上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值． ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价（二十二）” (单击进入电子文档) 23 谢谢观看 [证明]　如图所示，以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系xOy，则A(8,0)，B(0,6)，内切圆C的半径 r＝＝2. ∴圆心坐标为(2,2)． ∴内切圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4. [解]　设动点P的坐标为(x，y)，由＝a(a＞0)，得＝a.化简得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0. 当a≠1时，得2＋y2＝2，表示以为圆心，以为半径的圆． 当a＝1时，原方程化简得x＝0，P点轨迹的表示直线，即y轴． [对点训练] 　已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹，求出曲线的方程． 解：设P(x，y)为曲线上任意一点，则有 ＝，即＝， 化简得，x2＋y2＋2x－3＝0， 即(x＋1)2＋y2＝4. 方程表示的是以(－1,0)为圆心，以2为半径的圆． 发展理性思维 1．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　 ) A．2 B．3 C. D. 解析：由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得|AD|＝＝.故选C. 解：∵点P在直线2x－y＝0上， ∴可设P点坐标为(a,2a)， ∴＝5， 即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝， ∴点P的坐标为(2,4)或. ∴直线PM的方程为＝或＝，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0. 解析：如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(－3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)，则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|.当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|PO|＋|OQ|＝|