4.3.1 等比数列的概念 4.3.2 等比数列的通项公式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

4.3.1&4.3.2　等比数列的概念　等比数列的通项公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题. 3.灵活应用等比数列的通项公式，体会等比数列与指数函数的关系. 重点 难点 重点：等比数列通项公式及性质的应用. 难点：在实际问题中发现等比关系. 第 课时　等比数列的概念及通项公式 （一）等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示. 对等比数列概念的理解 (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0. (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.“每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒. (3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n>3，n∈N*)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，那么此数列不是等比数列. (4)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，那么此数列不是等比数列. (5)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列.当常数列是各项都为0的数列时，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，它是等比数列. 　(多选)下列数列是等比数列的是(　 ) A.2，2，－2，－2，2，2，－2，－2，… B.－1，1，－1，1，－1，… C.0，2，4，6，8，10，… D.1，，，，… 答案：BD 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有an＝a1qn-1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，为公比. 1.在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为(　 ) A.± B.±2 C. D.－2 解析：选D　因为＝q3＝－8，故q＝－2. 2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　 ) A.4 B.8 C.6 D.32 解析：选C　由等比数列的通项公式得，128＝4×2n-1，2n-1＝32，所以n＝6. —————————————————————————————————— 等比数列的通项公式及应用 —————————————————————————————————————— [典例]　在等比数列{an}中. (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a2＝4，a5＝－，求an； (3)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n. [解]　(1)由等比数列的通项公式得， a6＝3×(－2)6-1＝－96. (2)设等比数列的公比为q，则 解得 ∴an＝a1qn-1＝(－8)＝(n∈N*). (3)设等比数列{an}的公比为q. ∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝. ∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.∴a4＝16，an＝a4·qn-4＝16·. 由16·＝，得n－4＝5，∴n＝9. [方法技巧] 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解. 关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.　　 [对点训练] 　在等比数列{an}中. (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)若a4＝2，a7＝8，求an. 解：(1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3， 所以a5＝405. (2)a1＝＝＝5. (3)因为所以　 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn-1＝2. —————————————————————————————————— 等比数列的判定与证明 —————————————————————————————————————— [典例]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*). (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式. [解]　(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴bn＋1＝2an＋2.∴＝2.易知b1＝2，故数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)知，an＋1＝2·2n-1＝2n