微突破(六) 求数列通项公式的常用方法 微突破(七) 倒序相加法、裂项相消法求和(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

微突破(六)　求数列通项公式的常用方法 1.B　[解析] 由题意知an+1-an=2n,则a2-a1=21,a3-a2=22,a4-a3=23,…,a10-a9=29,以上各式相加可得a10-a1=21+22+23+…+29,又a1=1,所以a10=1+21+22+23+…+29==210-1=1023.故选B. 2.C　[解析] 方法一:由an=n(an+1-an),得(n+1)an=nan+1,即=,则当n≥2时,=,=,=,…,=,以上各式相乘可得=n(n≥2),因为a1=2,所以an=2n(n≥2),因为a1=2满足上式,所以an=2n,故选C. 方法二:由an=n(an+1-an),得(n+1)an=nan+1,即==a1=2,所以an=2n,故选C. 3.A　[解析] 由an+1=3Sn,得当n≥2时,an=3Sn-1,两式相减得an+1-an=3an(n≥2),即an+1=4an(n≥2),又当n=1时,a2=3S1=3a1=3,所以an=所以数列{an}即不是等比数列也不是等差数列,C,D错误;当n≥2时,Sn=1+=4n-1,又S1=1符合上式,所以Sn=4n-1,所以{Sn}为等比数列,A正确,B错误.故选A. 4.C　[解析] 由an+1=,a1=2,得log2a1=1,log2an+1=2log2an,所以数列{log2an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以log2an=2n-1,则数列{log2an}的前8项和为=255.故选C. 5.BCD　[解析] 由an=(n≥2),得=+(n≥2),因为a1=1,所以是以1为首项,为公差的等差数列,则=1+(n-1)=,则an=.可得a16==,a100==,(2n+1)an=3,所以{(2n+1)an}是首项为3,公比为1的等比数列,所以A错误,B,C,D均正确.故选BCD. 6.　　[解析] 当n=1时,a1=S1=a1+,所以a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,所以=-.所以数列{an}是首项为1,公比为-的等比数列,故an=. 7.an=·5n　[解析] 因为an+1=5an+3×5n+1,所以=+3,即-=3,所以是公差为3的等差数列,又=,所以=+3(n-1)=3n-,所以an=·5n. 8.解:(1)数列{an}满足(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2), 令n=1,得3a1=2a2-12, 又a1=2,所以a2=9. 令n=2,得4a2=3a3-24,所以a3=20. (2)将(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2)两边同时除以(n+1)(n+2)可得=, 化简得-=2. 设bn=,则bn+1-bn=2. 又b1=1,所以数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以bn=1+2(n-1)=2n-1, 从而an=(n+1)bn=(n+1)·(2n-1)=2n2+n-1. 微突破(七)　倒序相加法、裂项相消法求和 1.C　[解析] 因为an==-,所以{an}的前n项和Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1,所以S99=10-1=9,故选C. 2.　[解析] 因为函数f(x)=+lg,所以f(x)+f(1-x)=+lg++lg=1+lg+lg=1,设f+f+…+f=S①,则f+f+…+f=S②,由①+②得2S=1×9=9,所以S=. 3.　[解析] 因为数列{an}是各项都为正数的等比数列,所以ana2026-n==1(n∈N*,n≤2025),则f(an)+f(a2026-n)=+== =1,所以f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2024)+f(a2025)=. 4.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则解得a1=d=2, 故an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (2)因为bn===, 所以Tn===. 5.解:(1)将2anSn+1-2an+1Sn=anan+1两边同时除以2anan+1, 得-=, 所以是公差为的等差数列. 因为=1,所以=1+(n-1)×=,则2Sn=(n+1)an①, 当n≥2时,2Sn-1=nan-1②, ①-②,得2an=(n+1)an-nan-1(n≥2),整理得=(n≥2), 则an=a1···…·=1×××…×=n(n≥2), 又a1=1也符合上式,所以an=n. (2)证明:由(1)得bn===-, 所以Tn=-+-+…+-=-,因为>0,所以Tn=-<. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破(六)　求数列通项公式的常用方法 1.若数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则a10= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.511 B.1023 C.1025 D.2047 2.已知a1=2,an=n(an+1-an),则数列{an}的通项公式是an= (　 ) A.n B.n+1 C.2n D. 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,且an+1=3Sn(n∈N*),则 (　 ) A.{Sn}为等比数列 B.{Sn}为等差数列 C.{an}为等比数列 D.{an}为等差数列 4.[2025·江苏南京一中高二月考] 数列{an}满足an+1=,a1=2,则数列{log2an}的前8项和为 (　 ) A.63 B.127 C.255 D.256 5.(多选题)[2025·江苏泰州中学高二质检] 在数列{an}中,已知a1=1,an=(n≥2),则 (　 ) A.a16= B.是等差数列 C.a100= D.{(2n+1)an}是等比数列 6.已知数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式为an=　　　　.  7.数列{an}满足an+1=5an+3×5n+1,a1=6,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　.  8.(13分)[2025·江苏金陵中学高二质检] 已知数列{an}满足a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2). (1)求a2,a3; (2)求数列{an}的通项公式. 微突破(七)　倒序相加法、裂项相消法求和 1.已知数列{an}的通项公式为an=,则该数列的前99项之和等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.7 B.8 C.9 D.10 2.设函数f(x)=+lg,则f+f+…+f=　　　　.  3.已知函数f(x)=(x+1)-1,数列{an}是各项都为正数的等比数列,且a1013=1,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2024)+f(a2025)=　　　　.  4.(13分)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且a2=4,S4=20. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 5.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an>0,且2anSn+1-2an+1Sn=anan+1. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<. 学科网（北京）股份有限公司 $