4.2.1 等差数列的概念 4.2.2 等差数列的通项公式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

4.2.1&4.2.2　等差数列的概念　等差数列的通项公式 第 课时　等差数列的概念及通项公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能解决相应的问题. 重点 难点 重点：等差数列通项公式的应用. 难点：对等差数列的理解. （一）等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示. (1)“从第二项起”是指第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合. (2)“每一项减去它的前一项所得的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的次序；②这两项必须相邻. (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列. 1.若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是(　 ) A.公差为1的等差数列　　 B.公差为的等差数列 C.公差为－的等差数列 D.不是等差数列 答案：B　 2.在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________. 解析：由已知a－(－1)＝b－a＝8－b＝d，∴8－(－1)＝3d，∴d＝3. 答案：3 （二）等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 等差数列通项公式的注意点 (1)通项公式还可以推广为an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*，m<n). (2)通项公式的变形：d＝＝(m，n∈N*，m<n)，即已知等差数列的任意两项，可以直接求出公差d. (3)由方程思想，已知an，a1，n，d中的任何三个量，可以求出另一个量，即“知三求一”. (4)根据通项公式知，已知数列的任意两项，可以确定等差数列的每一项. 1.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　 ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 解析：选C　∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2.故选C. 2.等差数列{an}：－3，－7，－11，…的一个通项公式为an＝________. 解析：a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4，所以an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋1. 答案：－4n＋1 —————————————————————————————————— 等差数列的概念 —————————————————————————————————————— [典例]　(多选)下列数列是等差数列的是(　 ) A.a－d，a，a＋d B.2，4，6，8，…，2(n－1)，2n C.a－2d，a－d，a＋d，a＋2d(d≠0) D.an－1＝an－(n∈N*，n>1) [解析]　对于A选项，由于(a＋d)－a＝a－(a－d)＝d，故是等差数列，正确；对于B选项，2，4，6，8，…，2(n－1)，2n中，2n－2(n－1)＝2，是等差数列，正确；对于C选项，因为a－d－(a－2d)＝d，(a＋d)－(a－d)＝2d，又d≠0，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，故不是等差数列；对于D选项，由an－1＝an－(n∈N*，n>1)得an－an－1＝(n∈N*，n>1)，满足等差数列的定义. [答案]　ABD [方法技巧] 解答此类问题的关键是紧扣等差数列的定义.　　 [对点训练] 1.(多选)下列通项公式表示的数列为等差数列的是(　 ) A.an＝3n＋1 B.an＝n2＋1 C.an＝1 D.an＝1－2n 解析：选ACD　对于A，因为an＋1－an＝3(n＋1)＋1－(3n＋1)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列，故A正确.对于B，因为an＋1－an＝(n＋1)2＋1－(n2＋1)＝2n＋1，n为任意正整数，所以此数列不为等差数列.故B错误.对于C，因为an＋1－an＝1－1＝0(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列.故C正确.对于D，因为an＋1－an＝1－2(n＋1)－(1－2n)＝－2(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列.故D正确. 2.已知数列{an}是等差数列. (1)如果a1＝5，a2＝2，求公差d和a3； (2)如果a3＝5，a2＝2，求公差d和a1. 解：(1)由等差数列的定义，可知公差d＝a2－a1＝－3，a3＝a2＋d＝－1. (2)公差d＝a3－a2＝3，a1＝a2－d＝－1. —————————————————————————————————— 等差数列的通项