3.2.2 双曲线的几何性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3.2.2　双曲线的几何性质 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率). 2.能用双曲线的简单几何性质解决问题. 重点 难点 重点：双曲线的几何性质. 难点：双曲线几何性质的应用. 1.双曲线的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 x≤－a或x≥a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：(0，0) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝且e＞1 渐近线 y＝±x y＝±x 2.等轴双曲线 (1)等轴双曲线的定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线. (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)； ②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝. 3.双曲线中一些常用的结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称. (3)与双曲线－＝1具有相同渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0). (4)渐近线为y＝kx的双曲线的方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0). (5)渐近线为ax±by＝0的双曲线的方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0). 1.判断正误 (1)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　 ) (2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　 ) (3)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).(　 ) (4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k＝±.(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　 ) A.2 B.2 C.4 D.4 答案：C 3.双曲线x2－＝1的渐近线方程为(　 ) A.y＝±x B.y＝±3x C.y＝±x D.y＝±x 答案：A 4.王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时，有四位同学分别给出了一个结论： 甲：该双曲线的实轴长是4；乙：该双曲线的虚轴长是2；丙：该双曲线的焦距为8；丁：该双曲线的离心率为. 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是(　 ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案：B —————————————————————————————————— 根据双曲线方程研究其几何性质 —————————————————————————————————————— [典例]　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. [解]　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x. [拓展] 　将本例中双曲线方程换为“nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)”，结论不变，如何求解？ 解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，a＝，b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝2. 所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x. [方法技巧] 由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.　　 [对点训练] 1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　 ) A.实轴长为8 　　　　 B.虚轴长为4 C.焦距为6 　　　　 D.离心率为 解析：选ABD　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为，故选A、B、D. 2.双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________. 解析：双曲线方程化为标准方程为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，所以c2