3.2.1 双曲线的标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3.2.1　双曲线的标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形. 重点 难点 重点：双曲线的定义、标准方程. 难点：双曲线标准方程、定义的应用. (一)双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 符号语言：|PF1－PF2|＝常数(常数小于F1F2). 要注意定义中的限制条件：“小于F1F2”“绝对值”“正数”. (1)若将“小于F1F2”改为“等于F1F2”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点).若将其改为“大于F1F2”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)注意定义中的“正数”这一限制条件，若差的绝对值等于零，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 1.动点P到点M(1，0)的距离与点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　 ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 解析：选D　由已知PM－PN＝2＝MN，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D. 2.(多选)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　 ) A.PF1－PF2＝±3 B.PF1－PF2＝±4 C.PF1－PF2＝±2 D.PF－PF＝±4 解析：选AC　因为F1F2＝4，根据双曲线的定义知A、C中动点P的轨迹为双曲线，故选A、C. (二)双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 双曲线中一些常用的结论 (1)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (2)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. (3)双曲线上的点P(异于顶点)与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因为|F1F2|＝2c，所以有：①定义：|r1－r2|＝2a；②余弦定理：4c2＝r＋r－2r1r2cos θ；③面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ. 1.(多选)与椭圆＋y2＝1有共同焦点的双曲线方程是(　 ) A.－y2＝1 B.y2－＝1 C.－y2＝1 D.x2－＝1 答案：CD 2.若方程＋＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(　 ) A.(－3，－2) B.(－∞，－3) C.(－∞，－3)∪(－2，＋∞) D.(－2，＋∞) 答案：A 3.设m是常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________. 答案：16 (三)直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将y＝kx＋m代入－＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. ①当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点. ②当b2－a2k2≠0，即k≠±时，判别式Δ＞0⇔直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式Δ＜0⇔直线与双曲线相离，没有公共点. 1.双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.对于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，将x＝c代入双曲线的方程可得＝－1＝ ＝，所以直线x＝c与双曲线的两个交点为A，B，计算得通径长AB＝.同理，可求得双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的通径长也是. 2.双曲线的焦点弦的最小值 若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径长；若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是2a. 直线3x－4y＝0与双曲线－＝1的交点个数是(　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：A —————————————————————————————————— 利用双曲线的标准方程求参数 —————————————————————————————