3.1.2 椭圆的几何性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3.1.2　椭圆的几何性质 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.掌握简单的椭圆的几何性质. 2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响. 3.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用. 重点难点 重点：椭圆的几何性质. 难点：椭圆的几何性质的理解和应用. 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心(中心)为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即e＝. (2)性质：离心率e的范围是(0，1).当e越接近于1时，椭圆越扁平；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆 (1)通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长，其长度为. (2)椭圆＋＝k(k＞0，a＞b＞0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有相同的离心率. (3)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0，m>－b2). (4)椭圆离心率e的取值范围是(0，1)，椭圆的离心率刻画了椭圆的“扁平程度”，离心率e越大，椭圆越扁平，离心率e越小，椭圆越接近于圆.当且仅当a＝b，c＝0时，两个焦点重合，椭圆就变为圆，它的方程为x2＋y2＝a2. (5)椭圆离心率是焦距与长轴长的比，也可以形象的理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度.由椭圆的定义，椭圆的离心率e一般有以下几种表达方式： ①e＝＝cos α； ②e＝＝； ③e＝＝； ④e＝＝(如图). 1.判断正误 (1)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等.(　 ) (2)对椭圆＋＝1(a＞b＞0)有－a≤x≤a，－b≤y≤b.(　 ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　 ) (4)椭圆是轴对称图形，但不是中心对称图形.(　 ) (5)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，点P在短轴端点 处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，点P在长轴端点处.(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2.椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　 ) A.(－1，0)，(1，0) B.(－6，0)，(6，0) C.(－，0)，(，0) D.(0，－)，(0，) 答案：D 3.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　 ) A.5，3，0.8 B.10，6，0.8 C.5，3，0.6 D.10，6，0.6 答案：B —————————————————————————————————— 根据椭圆方程研究其几何性质 —————————————————————————————————————— [典例]　求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标，并以矩形为参照画出椭圆的图形：(1)x2＋4y2＝4；(2)9x2＋4y2＝36. [解]　(1)椭圆的标准方程为＋y2＝1，则a＝2，b＝1，c＝＝， 该椭圆的长轴长为2a＝4，短轴长为2b＝2，焦距为2c＝2，离心率为e＝，焦点坐标为(－，0)，(，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，(0，－1)，(0，1)，作出椭圆的图象如图所示. (2)椭圆的标准方程为＋＝1，则a＝3，b＝2，c＝＝， 该椭圆的长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4，焦距为2c＝2，离心率为e＝＝，焦点坐标为(0，－)，(0，)，顶点坐标为(0，－3)，(0，3)，(－2，0)，(2，0)， 作出椭圆的图象如图所示. [方法技巧] 1.由椭圆方程讨论其几何性质的步骤 (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个坐标轴上； (2)由标准形式求出a，b，c，写出其几何性质. 2.椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置； (2)椭圆的范围决定椭圆的大小； (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度； (4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这些点.　　 [对点训练] 1.已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝(　 ) A. B.2 C. D.4