检测评价21 数列的递推公式（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1 / 5 “四翼”检测评价（二十一）数列的递推公式 (一)基础落实 1.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a3＝(　 ) A.2 B.3 C.6 D.7 解析：选D　由a1＝1，an＋1＝2an＋1，得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7.故选D. 2.数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　 ) A.an＋1＝an＋n，n∈N* B.an＝an－1＋n，n∈N* C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N* D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 解析：选C　由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N*.故选C. 3.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析：选D　因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8. 4.在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝pan＋q，a4＝15，则p，q的值分别为(　 ) A.－3，6 B.2，1 C.－3，6或2，1 D.－4，7 解析：选C　因为a1＝1，a2＝3，且an＋1＝pan＋q，所以a2＝pa1＋q＝p＋q＝3，a3＝pa2＋q＝3p＋q，a4＝pa3＋q＝p(3p＋q)＋q.又a4＝15，所以解得或 5.(多选)设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，数列{an}的前n项积为Tn，则(　 ) A.a5＝ B.an＋3＝an C.T2 020＝－2 D.T2 020＝2 解析：选ABC　由题意知a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，a5＝1－＝，a6＝1－2＝－1.由此可知数列{an}是以3为周期的周期数列.即an＋3＝an，故T2 020＝a1·a2·a3·…·a2 019·a2 020＝(a1a2a3)673·a2 020＝－a2 020＝－a1＝－2. 6.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋an＋1，则a6＝__________. 答案：8 7.写出一个同时具有性质①②③的数列{an}：①无穷数列；②0<an<1；③每一项都是正数，则an＝________. 解析：根据题意，要求的数列可以为an＝，为无穷数列，每一项都是正数，且0<an<1. 答案：(答案不唯一) 8.在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则数列的最大项是________. 解析：由an＝－2＋，7<<8，得{an}在n∈{n|1≤n≤7，n∈N*}时单调递增，{an}在n∈{n|n≥8，n∈N*}时单调递减.又a7＝108，a8＝107，则数列的最大项为108. 答案：108 9.根据数列{an}的递推公式，写出它的前4项. (1)(2) 解：(1)因为a1＝1， 所以a2＝＝1，a3＝＝1，a4＝＝1. 所以该数列的前4项为1，1，1，1. (2)因为a1＝1，a2＝1， 所以a3＝a1＋a2＝2，a4＝a2＋a3＝3. 所以该数列的前4项为1，1，2，3. 10.已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值.并求出最小值； (2)对于n∈N*，都有an＋1＞an，求实数k的取值范围. 解：(1)若k＝－5，则an＝n2－5n＋4＝(n－1)(n－4)， 令an＜0，则1＜n＜4， ∴数列中第2、3项共2项为负数. ∵f(x)＝x2－5x＋4是开口向上，对称轴为x＝的抛物线， ∴当n＝2或3时，an有最小值22－5×2＋4＝－2. (2)依题意，an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4，整理得k＞－2n－1. 又∵对于n∈N*，都有an＋1＞an， ∴k大于－2n－1的最大值，∴k＞－2－1＝－3. 故实数k的取值范围为(－3，＋∞). (二)综合应用 1.已知数列{an}中，a1＝1，＝(n为正整数)，则a2 023的值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　因为＝，所以an＝·…··＝××…×××＝.所以a2 023＝. 2.已知数列an的通项公式为an＝n－，若对任意的n∈N*，都有an≥a3，则实数k的取值范围为(　 ) A.[－12，－6] B.(－12，－6) C.[－12，－5] D.(－12，－5) 解析：选A　n－≥3－对任意的n∈N*恒成立，即－k≥3－n，即－≥3－n， 当n≥4时，k≥－3n，所以k≥－12；当n＝1时，k≤－3；当n＝2时，k≤－6，