检测评价19 抛物线的几何性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1 / 7 “四翼”检测评价（十九）抛物线的几何性质 (一)基础落实 1.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　 ) A.y2＝±2x B.y2＝±2x C.y2＝±4x D.y2＝±4x 解析：选D　由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0).设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D. 2.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　 ) A.(2，±2) B.(1，±2) C.(1，2) D.(2，2) 解析：选B　由题意知，F(1，0).设A(x，y)，则y2＝4x　①， 又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x－x2－y2＝－4　②. 由①②解得x＝1，y＝±2，故A点坐标为(1，±2). 3.抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则FA＋FB等于(　 ) A.2 B.3 C.5 D.7 解析：选D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则FA＋FB＝x1＋x2＋2. 由得x2－5x＋4＝0， ∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.故选D. 4.已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是(　 ) A.2 B.3 C.4 D.0 解析：选B　∵点(x，y)在抛物线y2＝4x上，∴x≥0， ∵z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， ∴当x＝0时，z最小，最小值为3.故选B. 5.已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M(2，1)，则直线l的方程为(　 ) A.2x－y－3＝0 B.2x－y－5＝0 C.x－2y＝0 D.x－y－1＝0 解析：选A　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则⇒(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2). 又AB的中点为M(2，1)，∴y1＋y2＝2， 所以直线l的斜率k＝＝2， 因此直线l的方程为y－1＝2(x－2)， 整理，得2x－y－3＝0.故选A. 6.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为________. 解析：由抛物线的定义，知MF＝xM＋＝6，又xM＝2，即＝4，所以2p＝16，据此可知抛物线的方程为y2＝16x. 答案：y2＝16x 7.若点M(1，1)是抛物线y2＝4x的弦AB的中点，则弦AB的长为________. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x，得y12＝4x1，y22＝4x2， 两式相减，得k＝＝＝2， 所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1， 代入抛物线的方程，得4x2－8x＋1＝0，则x1＋x2＝2，x1x2＝，则|AB|＝·＝＝，即弦AB的长为. 答案： 8.抛物线的顶点和椭圆＋＝1的中心重合，抛物线的焦点和椭圆＋＝1的右焦点重合，则抛物线的方程为___________. 解析：依题意知，椭圆的右焦点F2(4，0)，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，∴p＝8，∴抛物线的方程为y2＝16x. 答案：y2＝16x 9.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，其焦点F到其准线的距离为2，过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A，B两点， (1)求抛物线C的方程及其焦点坐标； (2)求AB. 解：(1)由抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x，焦点坐标为(1，0). (2)过焦点F且倾斜角为45°的直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y，得x2－6x＋1＝0， 则x1＋x2＝6， 所以AB＝x1＋x2＋p＝8. 10.在平面直角坐标系Oxy中，平面上的动点P到点F(1，0)的距离与它到直线x＝－1的距离相等. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F(1，0)的直线l与点P的轨迹C交于两个不同点A，B.若点E(0，1)，且⊥，求直线l的方程. 解：(1)依据题意动点P到F(1，0)的距离等于P到直线x＝－1的距离， 由抛物线定义知，点P的轨迹是以F(1，0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线， 所以点P的轨迹C的方程为y2＝4x. (2)由于过点F(1，0)的直线l与点P的轨迹C交于两个不同点A，B， 则直线l不与x轴重合，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立整理，得y2－4my－4＝0， 则Δ＝16m2＋16>0， 由根与系数的关系，得y1＋y