检测评价40 最大值与最小值（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

5 / 6 “四翼”检测评价（四十）最大值与最小值 (一)基础落实 1.设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)(　 ) A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 解析：选A　因为M＝m，所以f(x)为常函数，故f′(x)＝0.故选A. 2.函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是(　 ) A.－2　　　 B.0　　　 C.2　　　 D.4 解析：选C　f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0， 即3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2(舍去). ∵f(－1)＝(－1)3－3×(－1)2＋2＝－2， f(0)＝2，f(1)＝13－3×12＋2＝0， ∴f(x)的最大值是f(0)＝2. 3.如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则(　 ) A.函数f(x)没有最大值也没有最小值 B.函数f(x)有最大值，没有最小值 C.函数f(x)没有最大值，有最小值 D.函数f(x)有最大值，也有最小值 解析：选C　由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值. 4.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是(　 ) A.－37 B.－29 C.－5 D.以上都不对 解析：选A　∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， ∴f(x)在(－2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数， ∴当x＝0时，f(0)＝m最大，∴m＝3. ∵f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值为－37. 5.函数f(x)＝x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是(　 ) A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C. D. 解析：选A　设h(x)＝f(x)－g(x)＝x3－x2＋a－x2＋3x＝x3－2x2＋3x＋a，则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，所以当x∈(1，3)时，h(x)单调递减；当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增.当x＝3时，函数h(x)取得最小值.因为f(x)的图象始终在g(x)图象的上方，则有h(x)min>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞). 6.已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2. 计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32. 答案：32 7.已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________. 解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由题设得∈(－2，－1)，故m∈(－4，－2). 答案：(－4，－2) 8.若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则m的取值范围是________. 解析：设y＝x2－4x，y′＝2x－4，令y′＝0，得x＝2. 所以y＝x2－4x在(－∞，2)上是减函数，即在x∈[0，1]上也是减函数，所以ymin＝12－4＝－3， 所以m≤－3，即m的取值范围是(－∞，－3]. 答案：(－∞，－3] 9.求下列函数的最值： (1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈； (2)f(x)＝ln (1＋x)－x2，x∈[0，2]. 解：(1)f′(x)＝cos x－sin x. 令f′(x)＝0，即tan x＝1， 且x∈，所以x＝. 又因为f＝， f＝－1，f＝1， 所以当x∈时， 函数的最大值为f＝， 最小值为f＝－1. (2)f′(x)＝－x， 令－x＝0，化简为x2＋x－2＝0， 解得x1＝－2(舍去)，x2＝1. 当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)是增函数； 当1<x≤2时，f′(x)<0，f(x)是减函数， 所以f(1)＝ln 2－为函数f(x)的极大值. 又f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1>0，f(1)>f(2). 所以f(0)＝0为函数在[0，2]上的最小值， f(1)＝ln 2－为函数在[0，2]上的最大值. 10.已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x＋2，x∈. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)的最大值和最小值. 解：(1)f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1). 由f′(x)>0，得x<－1或x>－； 由f′(x)<0，得－1<x<－. 因此，函数f(x)在上的单调递增区间为和，单调递减区间为. (2)f(x)在x