5.3.1 单调性-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦导数与函数单调性的关系这一核心知识点，从一次函数斜率与导数的关联入手，通过图像观察归纳导数正负决定函数增减的结论，结合辨析题和例题构建学习支架，为后续极值等应用奠定基础。 资料以直观想象和逻辑推理为特色，设计“思考辨析”“母题探究”等环节，如含参函数单调性讨论实例，培养数学运算能力。课中助力教师引导学生探究，课后学生可通过分层练习回顾强化，有效查漏补缺。

5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.1　单调性 学习任务 核心素养 1．理解导数与函数的单调性的关系，会用导数求函数的单调区间．(易混点) 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点) 1．通过对函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的核心素养． 2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升数学运算及逻辑推理的核心素养． 观察y＝x－1，y＝2x＋1，y＝－3x＋1的图象并回答以下问题： ①这3个函数图象都是直线，其斜率分别是多少？其值有何特点？单调性如何？ ②分别求出这3个函数的导数，并观察其导数值有何特点． 知识点　函数f(x)的单调性与导数f′(x)正负的关系 对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)在该区间上单调递增； 如果在某区间上f′(x)＜0，那么f(x)在该区间上单调递减． 上述结论可以用下图来直观理解． 如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？ [提示]　f(x)是常数函数，不具有单调性． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在这个区间上单调递减． (　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大． (　　) (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性． (　　) [提示]　(1)√　函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，所以函数f(x)在这个区间上单调递减，故正确． (2)×　切线的“陡峭”程度与|f′(x)|的大小有关，故错误． (3)√　函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致． (4)√　若f′(x)0(0)，则函数f(x)在区间内单调递增(减)，故f′(x)＝0不影响函数单调性． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数f(x)＝2x－sin x在区间(－∞，＋∞)上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不确定 A　[∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．] 3．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) A　　　 　　　　B C　　　　　　 　D D　[当x＞0时，f′(x)＞0；当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D．] 4．已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________． (－1，2)和(4，＋∞)　[由y＝f′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f(x)的大致图象如图所示．所以函数f(x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．] 类型1　导函数与原函数的关联图象 【例1】　(1)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) A　　　　　　B C　　　　　　D (2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D (1)D　(2)B　[(1)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，因此当x＜0时，有f′(x)＞0(即全部在x轴上方)，故排除A，C．从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数单调递增，f′(x)＞0；在区间(x1，x2)上原函数单调递减，f′(x)＜0；在区间(x2，＋∞)上原函数单调递增，f′(x)＞0，故排除B．故选D． (2)法一：由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小． 法二：由于f′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f(x)单调递增，即图象从左至右上升，四个图象都满足． 由于当x＞0时，f′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B．] 　1．研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点 研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． 2．通过图象研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． [跟进训练] 1．已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D C　[当0＜x＜1时，xf′(x)＜0， ∴f′(x)＜0，故f(x)在(0，1)上单调递减； 当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0， 故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增．故选C．] 类型2　利用导数求函数的单调区间 【例2】　【链接教材P213例2】 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2e－x． [解]　(1)f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝6x－＝ ＝， 因为x＞0，所以(x＋1)>0，令f′(x)＞0，解得x＞；令f′(x)＜0，解得0＜x＜． ∴函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)． ∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)， 由于e－x>0，令f′(x)>0，解得0<x<2；令f′(x)<0，解得x<0或x>2． ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)． 【教材原题·P213例2】 讨论函数f(x)＝2x3－6x2＋7的单调性． [解]　由题设知，f′(x)＝6x2－12x． 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2． 因此，在区间(－∞，0)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增；在区间(0，2)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减；在区间(2，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增(图5-3-3)． 　用解不等式法求单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导函数f′(x)； (3)解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，并写出解集； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． [跟进训练] 2．求函数f(x)＝x2－ln x的单调区间． [解]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2x－＝． 因为x＞0，所以x＋1＞0，令f′(x)＞0，解得x＞，所以函数f(x)的单调递增区间为；令f′(x)＜0，解得0<x＜，所以函数f(x)的单调递减区间为． 类型3　讨论含有参数的函数的单调性 【例3】　设g(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性． [解]　由题意可知g′(x)＝－2ax＋a－2＝－(x＞0)． ∵a＜0，g′(x)＝－(x＞0)． ①当a＜－2时，∵－＜，∴g′(x)＝－＞0等价于(2x－1)＞0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减． ②当a＝－2时，g′(x)＝0恒成立， ∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增． ③当－2＜a＜0时，∵－＞，∴g′(x)＝－＞0等价于(2x－1)＞0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减． 　利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； (4)在不同的参数范围内，解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间． [跟进训练] 3．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间． [解]　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝． 当k0时，kx－1＜0，∴f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当k＞0时，由f′(x)＜0，得＜0，解得0＜x＜； 由f′(x)＞0， 得＞0， 解得x＞． ∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上所述，当k0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)； 当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为． 类型4　已知函数的单调性求参数的范围 【例4】　已知函数f(x)＝x3－ax－1在定义域上单调递增函数，求实数a的取值范围． [解]　由已知得f′(x)＝3x2－a， 因为f(x)在定义域(－∞，＋∞)上单调递增， 所以f′(x)＝3x2－a0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a3x2对x∈R恒成立，因为3x20，所以只需a0． 故实数a的取值范围是(－∞，0]． [母题探究] 1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，求a的取值范围． [解]　由题意可知f′(x)＝3x2－a，函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)． ①当a0时，f′(x)0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，与已知矛盾，不符合题意． ②当a＞0时，令3x2－a＝0， 得x＝±， 当－＜x＜时，f′(x)＜0． ∴f(x)在上单调递减， ∴f(x)的单调递减区间为， 又∵由题意知，函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)． ∴＝1，即a＝3． 2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围． [解]　由题意可知f′(x)＝3x2－a0在(－1，1)上恒成立，∴即 ∴a3．即a的取值范围是[3，＋∞)． 3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围． [解]　∵f(x)＝x3－ax－1， ∴f′(x)＝3x2－a， 令f′(x)＝0，得x＝±(a0)， ∵f(x)在区间(－1，1)上不单调， ∴0＜＜1，即0＜a＜3． 故a的取值范围为(0，3)． 　1．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)0(f′(x)0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立． 2．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)0(或f′(x)0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0． 1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D C　[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1，4)上单调递增， ∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0； 当1＜x＜4时，f′(x)＞0．故选C．] 2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞) D　[∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2． ∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．] 3．已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e-1 D．e-2 C　[因为函数f(x)＝aex－ln x，所以f′(x)＝aex－．因为函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，所以f′(x)0在(1，2)上恒成立，即aex－0在(1，2)上恒成立，易知a>0，则0<xex在(1，2)上恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex．当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以e，即a＝e-1，故选C．] 4．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________． (0，1)　[函数的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝x－＝， 令＜0，解得0＜x＜1， 则函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为(0，1)．] 5．已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f(x)的单调性． [解]　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)． ①若a0，则f′(x)＜0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减． ②若a＞0， 则令f′(x)＝0，得x＝－ln a． 当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)＜0； 当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0． 所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上，当a0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．函数f(x)在区间(a，b)上的单调性与f′(x)的符号有什么关系？ [提示]　若f′(x)>0，则f(x)单调递增；若f′(x)<0，则f(x)单调递减． 2．如何判断或证明函数的单调性？ [提示]　判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性． 课时分层作业(三十五)　单调性 一、选择题 1．已知函数f(x)＝x ln x，则f(x)(　　) A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 D　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，求导函数，可得f′(x)＝1＋ln x，令f′(x)＝1＋ln x＝0，可得x＝， ∴当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0． ∴f(x)在上单调递减，在上单调递增．故选D．] 2．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)＞0的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B　[当x＞0时，x·f′(x)＞0⇒f′(x)＞0⇒函数单调递增，根据图形知，x＞1或x＜－1⇒x＞1；当x＝0时，不成立； 当x＜0时，x·f′(x)＞0⇒f′(x)＜0⇒函数单调递减，根据图形知，－1＜x＜1⇒－1＜x＜0．综上所述，x∈(－1，0)∪(1，＋∞)，故选B．] 3．已知函数f(x)＝2x－ln |x|，则f(x)的大致图象为(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　D A　[当x＜0时，f(x)＝2x－ln (－x)，f′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，则B，D错误；当x＞0时，f(x)＝2x－ln x，f′(x)＝2－＝，则f(x)在上单调递减，上单调递增，所以A正确，故选A．] 4．函数f(x)＝x3＋kx2－7x在区间[－1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]　　　　　　 B．[－2，2] C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞) B　[∵f(x)＝x3＋kx2－7x，∴f′(x)＝3x2＋2kx－7，由题意可知，不等式f′(x)0对于任意的x∈[－1，1]恒成立，所以解得－2k2． 因此，实数k的取值范围是[－2，2]．故选B．] 5．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) B　[依题意可设g(x)＝f(x)－2x－4，所以g′(x)＝f′(x)－2＞0． 所以函数y＝g(x)在R上单调递增，又因为g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0． 所以要使g(x)＝f(x)－2x－4＞0，即g(x)＞g(－1)，只需要x＞－1，故选B．] 二、填空题 6．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________． ，π　[令f′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<，又x∈(0，π)，解得<x<π，所以函数的单调递增区间为．] 7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________． [－]　[f′(x)＝－3x2＋2ax－10在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－120⇒－a，即a的取值范围是[－]．] 8．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是________． 　[因为f(x)的定义域为(0，＋∞)， 又f′(x)＝4x－， 由f′(x)＝0，得x＝．当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0．据题意，k－1＜＜k＋1，k－10，解得1k＜．] 三、解答题 9．(源自北师大版教材)讨论函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的单调性． [解]　f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x＋2)(x－3)． 设f′(x)＞0，则6(x＋2)(x－3)＞0，即x＜－2或x＞3． 故当x∈(－∞，－2)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)＞0，因此，函数f(x)在区间(－∞，－2)和(3，＋∞)上单调递增； 当x∈(－2，3)时，f′(x)＜0，因此，函数f(x)在区间(－2，3)上单调递减． 10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在区间1，m＋上单调，求实数m的取值范围． [解]　(1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b， ∴解得 ∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8， ∴f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2． (2)∵f′(x)＝＋2x－8 ＝(x＞0)． 令f′(x)>0，解得0<x<1或x>3；令f′(x)<0，解得1<x<3， ∴f(x)的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)， f(x)的单调递减区间为(1，3)． 要使函数f(x)在区间上单调， 则解得＜m． 即实数m的取值范围为． 11．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有(　　) A．f(x)g(x)>f(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(a) C　[因为′＝，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上单调递减．又因为a<x<b，所以>>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．故选C．] 12．(多选题)若函数y＝exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的函数的选项为(　　) A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－x C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2 AD　[A中，exf(x)＝ex·2－x＝在R上单调递增，故f(x)＝2－x具有M性质； B中，exf(x)＝ex·3－x＝在R上单调递减，故f(x)＝3－x不具有M性质； C中，exf(x)＝ex·x3，令g(x)＝ex·x3，则g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，∴当x＞－3时，g′(x)＞0，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴exf(x)＝ex·x3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f(x)＝x3不具有M性质；D中，exf(x)＝ex(x2＋2)，令g(x)＝ex(x2＋2)，则g′(x)＝ex(x2＋2)＋ex·2x＝f(x)＝ex(x2＋2)在R上单调递增，故f(x)＝x2＋2具有M性质．] 13．已知函数f(x)＝＋a ln x＋x，且曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝－2x＋2平行，则a＝________，函数f(x)的单调递增区间为________． －1　(2，＋∞)　[f(x)＝＋a ln x＋x，其定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋1＝，由题知f′(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1，这时f′(x)＝，由f′(x)＝0，得x1＝2或x2＝－1(舍)，令f′(x)＞0，即x2－x－2＞0且x＞0，得x＞2，所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．] 14．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________． (0，＋∞)　[若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0．] 15．已知函数f(x)＝ax2＋2x－ln x(a∈R)． (1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)存在单调递增区间，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝3时，f(x)＝x2＋2x－ln x，其定义域为(0，＋∞)． ∴f′(x)＝3x＋2－＝． 令f′(x)＜0，解得0＜x＜， 令f′(x)＞0，解得x＞， ∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)∵f(x)＝ax2＋2x－ln x(a∈R)的定义域为(0，＋∞)， ∴f′(x)＝ax＋2－＝(a∈R)． 若函数f(x)存在单调递增区间，则f′(x)＞0在区间(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1＞0在区间(0，＋∞)上有解． 分离参数得a＞，令g(x)＝，则依题意，只需a＞g(x)min即可． ∵g(x)＝＝－1， ∴g(x)min＝－1， ∴a＞－1， 即所求实数a的取值范围为(－1，＋∞)． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $