检测评价35 函数的和、差、积、商的导数（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1 / 5 “四翼”检测评价（三十五）函数的和、差、积、商的导数 (一)基础落实 1.若函数f(x)＝x2＋，则f′(－1)＝(　 ) A.－1 B.1 C.－3 D.3 解析：选C　f′(x)＝2x－，则f′(－1)＝－3. 2.曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　因为f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，所以在x＝1处的切线的倾斜角为. 3.某铁球在0 ℃时，半径为1 dm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为t ℃时铁球的半径为(1＋at)dm，其中a为常数，则在t＝0时，铁球体积对温度的瞬时变化率为(　 ) A.0 B.4π C.4πa D.πa 解析：选C　由已知，得V球＝πR3＝π(1＋at)3，则V球＝π×3(1＋at)2×a＝4πa(1＋at)2，则当t＝0时，V′球＝4πa(1＋a×0)2＝4πa，即在t＝0时，铁球体积对温度的瞬时变化率为4πa. 4.设曲线y＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　 ) A.2 B. C.－ D.－2 解析：选D　∵y＝＝1＋，∴y′＝－(x≠1).∴当x＝3时，y′＝－.∵切线与直线 ax＋y＋1＝0垂直，∴－a×＝－1，即a＝－2. 5.已知g(x)为三次函数f(x)＝x3＋x2－2ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是(　 ) 解析：选D　g(x)＝f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x－1)·(x＋2)，所以g(x)的零点为1，－2.结合选项可知选D. 6.设f(x)＝ex＋xe＋ea，则f′(x)＝________. 解析：f′(x)＝(ex)′＋(xe)′＋(ea)′＝ex＋exe-1. 答案：ex＋exe-1 7.设函数f(x)是R内的可导函数，且f(ln x)＝x ln x，则f′(0)＝________. 解析：令t＝ln x，则x＝et，所以f(t)＝tet，即f(x)＝xex.所以f′(x)＝(1＋x)ex，所以f′(0)＝1. 答案：1 8.已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a＝________. 解析：∵f′(x)＝＝，又f′(1)＝tan ＝－1，∴a＝7. 答案：7 9.求下列函数的导数. (1)y＝ln x＋；(2)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (3)y＝x－sin cos ；(4)y＝. 解：(1)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－. (2)因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， 所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3. (3)因为y＝x－sin cos ＝x－sin x，所以y′＝′＝x′－′＝1－cos x. (4)y′＝′＝＝－. 10.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值； (2)如果曲线y＝f(x)的切线与直线y＝－x＋3垂直，求切线的方程. 解：(1)f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a， 由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16. (2)∵切线与直线y＝－＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1. 由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18， 则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，即y＝4x－18或y＝4x－14. (二)综合应用 1.经过点(2，0)作曲线y＝x2ex的切线有(　 ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：选C　因为y′＝(x2＋2x)ex，设切点为(x0，xex0)，所以曲线y＝x2ex在点(x0，xex0)处的切线方程为y－xex0＝(x＋2x0)ex0·(x－x0).将(2，0)代入，得x0ex0·(x－x0－4)＝0即x0ex0＝0或x－x0－4＝0，所以x0＝0或x－x0－4＝0，因为方程x2－x－4＝0有两个不同的根，且根不为0，所以方程x0ex0·(x－x0－4)＝0共有3个不同的根，即经过点(2，0)作曲线y＝x2ex的切线有3条. 2.(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的导函数为f′(x)，则(　 ) A.若f(x)为奇函数，则f′(x)为偶函数 B.若f′(0)＝0，则f(x)为奇函数 C.若f′(x)的最小值为0，则a2＝3b D.若f′(x)为偶函数，则f