专题5.2 导数的运算（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“导数的运算”核心知识点，从基本初等函数导数公式切入，衔接函数和差积商的求导法则，延伸至复合函数求导法则，构建“定义回顾-公式应用-法则拓展-综合应用”的递进式学习支架，涵盖切线方程、导数几何意义等应用题型。 该资料以核心素养为设计核心，通过“即学即练”与典例变式提升数学运算能力，复合函数拆分训练培养逻辑推理思维，切线问题结合几何意义发展数学眼光，新定义题型（如曲率）激发创新意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题5.2 导数的运算 教学目标 1.根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，同时熟悉具体的操作步骤；运用导数的定义及基本初等函数的导数这两种方法求导．会运用导数公式求切线方程； 2.理解两个函数的和、差、积、商的求导法则，能运用导数公式和函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数； 3. 理解复合函数的概念，能描述复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的．理解简单复合函数的求导法则，会求简单复合函数的导数；从引入简单复合函数到归纳出复合函数求导法则的过程中，发展逻辑推理素养；在运用复合函数求导法则解决问题的过程中，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 函数的和、差、积、商的求导法则及应用；简单复合函数的导数的求导法则及应用。 2.难点 准确地把函数拆分或整合为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数；能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导。 知识点01 基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 【即学即练】 1．已知函数，则的值为（  ） A． B． C． D． 2．下列求导运算正确的是（  ） A． B． C． D． 知识点02 函数的和、差、积、商的导数 导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 【即学即练】 1．下列求导数的运算中错误的是（  ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则（  ） A． B． C． D．1 知识点03 复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 【即学即练】 1．函数的导函数为（  ） A． B． C． D． 2．已知是函数的图象上一点，函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 题型01 基本初等函数的导数 【典例1】（多选）下列选项正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导． 【变式1】下列求导结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】设，，，…，，，则＝（  ） A． B．－ C． D．－ 【变式3】（多选）设t为实数，则直线能作为下列函数图象的切线的有（  ） A． B． C． D． 【变式4】求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 题型02 导数的四则运算法则 【典例1】（1）（多选）下列求导运算正确的是（  ） A． B． C． D． （2）已知函数 ，则（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 利用导数运算法则的策略： （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． （2）如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 【变式1】已知函数，则（  ） A． B． C．0 D．0或 【变式2】知函数，且，则实数（  ） A．2024 B．2023 C． D． 【变式3】已知函数，则 ． 【变式4】求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 题型03 复合函数的求导法则 【典例1】（多选）下列求导正确的是（  ） A． B． C． D． 复合函数求导的基本步骤: 第一步：分解——适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系； 第二步：求导——分层求导（弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导），特别注意中间变量对自变量求导，即先求，再求. 第三步：相乘——将与两式相乘 第四步：回代——将中间变量代回元自变量（一般是）的函数. 求复合函数的导数的注意点： ①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 涉及导数运算法则的复合函数求导策略: 求较复杂的复合函数的导数时，一般先整理化简再求导；若要直接求导，则应辨明和、差、积、商及复合关系，分清复合部分的层次，找准构成复合函数的基本函数，再依据基本初等函数的导数公式与运算法则求导. 【变式1】设函数的导函数为，则（  ） A． B． C．7 D．25 【变式2】（多选）下列求导运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的定义域均为为的导函数，且，，若为偶函数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【变式4】曲线在处的切线与直线平行，且与直线的距离为，则直线l的方程为________________． 【变式5】求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 利用导数研究曲线的切线方程（斜率） 【典例1】(1)若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 . (2)若，直线与曲线相切于点，则（  ） A． B． C． D． (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 【变式1】曲线在点处的切线方程是（  ） A． B． C． D． 【变式2】函数在点处切线方程为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，则在处的切线方程为 . 【变式4】已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则___________ 【变式5】已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 题型05 已知切线的斜率（倾斜角））求参 【典例1】已知曲线在处的切线方程为，则（  ） A． B． C．2 D．1 与切线有关的问题的求解策略： 一是会利用导数的几何意义，即曲线在点处的切线的斜率为； 二是注意切点坐标的“一拖三”（切点与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上）． 【变式1】已知函数，其中，且，则a的值为（  ）． A．1 B． C． D．0 【变式2】设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】若直线是曲线的一条切线，则的值为（  ） A． B． C．2 D． 【变式4】若直线是曲线的切线，则 ． 题型06 函数图象的判断及应用 【典例1】已知为的导函数，则的图象大致是（  ） A．   B．   C．   D．   【变式1】已知，为的导函数，则的图象大致是（  ） A． B． C． D． 【变式2】函数的导函数在区间上的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【变式3】函数的导数的部分图象大致为（  ） A．   B．   C．   D．     题型07 切线平行、垂直问题 【典例1】若曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 切线平行可得斜率相等，切线垂直可得斜率之积为 【变式1】若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 【变式2】设曲线在处的切线与垂直，则（  ） A． B．2 C． D． 【变式3】设曲线在点处的切线与直线垂直，则a＝ .该切线与坐标轴围成的面积为 . 【变式4】已知，其上存在两点的切线互相垂直，则实数 ． 题型08 公切线问题 【典例1】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（  ） A． B． C． D． 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)＝. 【变式1】已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（  ） A．1 B． C．3 D． 【变式2】（多选）已知函数，，直线分别与曲线和曲线相切于点，，且直线也与曲线，都相切，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线l与曲线（e为自然对数的底数）和曲线都相切，则直线l的斜率为 ． 题型09 导数运算的新定义问题 【典例1】用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（  ） A．0 B． C．1 D． 求轨迹方程的常见方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点法：由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点的坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果．有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果． 【变式1】（多选）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（  ） A． B． C． D． 【变式3】设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质． (1)求证：函数不具有性质； (2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由．     1．下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 2．若函数满足，则的值为（  ） A． B．2 C．3 D．4 3．曲线上的点到直线的距离的最小值为（  ） A． B．2 C． D．4 4．已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（  ） A． B． C． D． 5．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（  ） A．-1 B．1 C． D． 6．已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）下列结论中，正确的是（  ） A． B．若，则 C． D． 8．（多选）已知函数不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记的导函数为，则（  ） A．存在和实数，使得 B．不存在和实数，满足 C．存在和实数，满足 D．若存在实数满足，则只能是指数函数 9．（多选）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（  ） A． B． C． D． 10．定义在实数集上的可导函数满足：，，其中是的导数，写出满足上述条件的一个函数 ． 11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心． 若，请你根据这一发现，求： （1）函数对称中心为 ； （2）计算 ． 12．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是____________ 13．求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6). 14．小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：和.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答： (1)当，时，经过点作曲线的切线，切点为.求证：不论p怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上； (2)当，，时，若存在斜率为的直线与曲线和都相切，求的最小值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 导数的运算 教学目标 1.根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，同时熟悉具体的操作步骤；运用导数的定义及基本初等函数的导数这两种方法求导．会运用导数公式求切线方程； 2.理解两个函数的和、差、积、商的求导法则，能运用导数公式和函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数； 3. 理解复合函数的概念，能描述复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的．理解简单复合函数的求导法则，会求简单复合函数的导数；从引入简单复合函数到归纳出复合函数求导法则的过程中，发展逻辑推理素养；在运用复合函数求导法则解决问题的过程中，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 函数的和、差、积、商的求导法则及应用；简单复合函数的导数的求导法则及应用。 2.难点 准确地把函数拆分或整合为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数；能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导。 知识点01 基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 【即学即练】 1．已知函数，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数公式直接计算即可. 【解析】由解析式知，所以. 故选：B. 2．下列求导运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本初等函数求导法则即可得解. 【解析】由题意，，，. 故选：C. 知识点02 函数的和、差、积、商的导数 导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 【即学即练】 1．下列求导数的运算中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的运算法则进行计算后判断各选项． 【解析】由指数函数求导法则得A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：C． 2．已知函数，若，则（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由求出，再由求出的值. 【解析】因为，所以， 则，解得. 故选：A. 知识点03 复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 【即学即练】 1．函数的导函数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的求导法则即可求解. 【解析】由得， 故选：B 2．已知是函数的图象上一点，函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】先求出导函数，再由切线斜率求出切点坐标，代入点斜式直线方程即可求解. 【解析】由得， 因为，且，所以，解得， 又，所以在处的切线方程为，即． 故答案为：． 题型01 基本初等函数的导数 【典例1】（多选）下列选项正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】运用基本初等函数导数公式计算即可. 【解析】对于A,若，则,故A错误; 对于B, 若，则，故B正确; 对于C, 若，则，故C正确; 对于D, 若，则，故D正确. 故选：BCD. （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导． 【变式1】下列求导结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由初等函数导数公式求导. 【解析】，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误. 故选：A. 【变式2】设，，，…，，，则＝（  ） A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【分析】根据周期性判断即可. 【解析】由题意可知，， ， ， ，，所以周期为4， 所以. 故选：D. 【变式3】（多选）设t为实数，则直线能作为下列函数图象的切线的有（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分别求得各个函数的导数，若有解，则直线能作为该函数图象的切线，若无解，则不满足题意，即可得答案. 【解析】对于A：，故无论x取何值，不可能等于，故A错误﹔ 对于B：，令，解得， 所以直线能作为该函数图象的切线，故B正确； 对于C：，令，解得， 所以直线能作为该函数图象的切线，故C正确； 对于D：，故无论x取何值，不可能等于，故D错误． 故选：BC． 【变式4】求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可. 【解析】（1）. （2）. （3），所以. （4）. （5） 所以. 题型02 导数的四则运算法则 【典例1】（1）（多选）下列求导运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据导数运算法则依次运算求解即可. 【解析】对于A选项，，故错误； 对于B选项，，正确； 对于C选项，，故错误； 对于D选项，，故正确. 故选：BD （2）已知函数 ，则（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】对求导，注意是常数，将代入导函数中，可求得，进而可求． 【解析】因为函数 ，所以， 令，可得， 所以，所以． 故选：B. 利用导数运算法则的策略： （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． （2）如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 【变式1】已知函数，则（  ） A． B． C．0 D．0或 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再列式求解. 【解析】函数，求导得， 则，解得或． 故选：D. 【变式2】知函数，且，则实数（  ） A．2024 B．2023 C． D． 【答案】A 【分析】观察函数特征，不妨令，所以，则，再代入运算即可. 【解析】令，所以， 所以， 所以， 解得． 故选：． 【变式3】已知函数，则 ． 【答案】/1.6 【分析】求出函数的导数，再赋值计算作答. 【解析】函数，求导得， 令，则，解得， 所以. 故答案为： 【变式4】求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) (5)；(6) 【分析】利用基本函数的求导公式及导数的运算法则可得结果. 【解析】（1）. （2）. （3）因为， 所以. （4）. （5）. （6）因为， 所以 . 题型03 复合函数的求导法则 【典例1】（多选）下列求导正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据导数的运算法则及复合函数的导数计算即可判断. 【解析】，故错误； ，故错误； ，故正确； ，故正确. 故选：CD. 复合函数求导的基本步骤: 第一步：分解——适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系； 第二步：求导——分层求导（弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导），特别注意中间变量对自变量求导，即先求，再求. 第三步：相乘——将与两式相乘 第四步：回代——将中间变量代回元自变量（一般是）的函数. 求复合函数的导数的注意点： ①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 涉及导数运算法则的复合函数求导策略: 求较复杂的复合函数的导数时，一般先整理化简再求导；若要直接求导，则应辨明和、差、积、商及复合关系，分清复合部分的层次，找准构成复合函数的基本函数，再依据基本初等函数的导数公式与运算法则求导. 【变式1】设函数的导函数为，则（  ） A． B． C．7 D．25 【答案】A 【分析】利用导数的运算法则求出，再求出函数值即可. 【解析】函数，求导得， ， 所以． 故选：A 【变式2】（多选）下列求导运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【解析】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：ABD. 【变式3】已知函数的定义域均为为的导函数，且，，若为偶函数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】由题意分析可得，再推导得的奇偶性和周期性，利用特殊值求出，进而分析得到，计算可得答案. 【解析】由题意，可知，①， 令可得，，所以. 又因为为偶函数，所以，两边同时求导可得，② 令可得，，所以， 联立①②可得，，化简可得，所以是周期为2的函数，所以，， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：A. 【变式4】曲线在处的切线与直线平行，且与直线的距离为，则直线l的方程为________________． 【答案】或． 【解析】， ． ∴经过点的切线方程为，即． ∵切线与直线平行，∴设直线的方程为， 根据题意，得，或． ∴直线l的方程为或． 故答案为：或． 【变式5】求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3) ；(4) 【分析】（1）根据导函数的基本公式和加法法则求解即可． （2）根据导函数的基本公式和复合函数求导法则求解即可. （3）方法一：根据乘法法则求解即可；方法二：先化简函数，再根据导数运算法则求解即可. （4）结合导数运算法则，根据复合函数求导法则求解即可. 【解析】（1）由得． （2） ． （3）方法一： ． 方法二：因为 ， 所以 ． （4）令， 则 ， 所以 ． 题型04 利用导数研究曲线的切线方程（斜率） 【典例1】(1)若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据条件得到，从而有，再利用导数的几何意义，即可求出结果. 【解析】因为为奇函数，且定义域为， 所以，得到， 当时，，， 所以满足题义，故，所以， 故，又，所以曲线在点处的切线方程为， 故答案为：. (2)若，直线与曲线相切于点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对直线与曲线进行求导，根据斜率相等及切点处值相等得到方程组，解出切点横坐标即可. 【解析】因为曲线，直线，，所以， 又，所以，则． 故选：D. (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 【变式1】曲线在点处的切线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知点在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程． 【解析】由已知得：曲线为; 则：对其进行求导得； 当时， 曲线在点处的切线方程为： 化简得：； 故选：D. 【变式2】函数在点处切线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，再求出，再利用点斜式可得切线方程. 【解析】由已知， ， 函数在点处切线方程为， 即. 故选：C. 【变式3】已知函数，则在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】先求函数定义域，再用导数几何意义求出切线斜率，之后求出点坐标，点斜式解出切线方程并化为直线的一般式即可. 【解析】由题意知：，， ，则切线斜率， 又，所以， 所以在点处的切线方程为：， 即. 故答案为：. 【变式4】已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则___________ 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点坐标，再根据面积列式可求出结果. 【解析】因为，所以. 因为，所以的图象在处的切线方程为. 因为切线与坐标轴能围成三角形，所以， 令，得，令，得， 所以，所以. 故答案为： 【变式5】已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)，;(2)或 【分析】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【解析】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 题型05 已知切线的斜率（倾斜角））求参 【典例1】已知曲线在处的切线方程为，则（  ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】通过求导数，得到切线斜率的表达式，求得，将切点的坐标代入直线方程，求得． 【解析】求导函数可得，所以， 因为切线方程的斜率为1，所以 所以 所以切点坐标为，代入切线方程得， 故选：B． 与切线有关的问题的求解策略： 一是会利用导数的几何意义，即曲线在点处的切线的斜率为； 二是注意切点坐标的“一拖三”（切点与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上）． 【变式1】已知函数，其中，且，则a的值为（  ）． A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用可得答案. 【解析】因为，所以， 又因为，所以，所以． 故选：A. 【变式2】设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出切点，根据在切点处的导数即为切线的斜率以及切点既在切线上又在曲线上列等式，即可求的值. 【解析】设切点为，，直线的斜率. 则，得，. 故选：D. 【变式3】若直线是曲线的一条切线，则的值为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义，可得切点坐标，然后求出的值. 【解析】由，得， 设切点为，则由导数的几何意义得， 又切线方程为，所以， 即，解得，. 故选：D. 【变式4】若直线是曲线的切线，则 ． 【答案】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义得到方程组，解得即可. 【解析】因为，所以， 设切点为，则，即， 当时，则，，所以，， 所以在处的切线为，符合题意； 当，则，则，所以，则， 则，此时无解，不符合题意，故舍去； 综上可得. 故答案为： 题型06 函数图象的判断及应用 【典例1】已知为的导函数，则的图象大致是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先化简函数表达式，然后对函数进行求导，再分析其图象特征（如奇偶性、关键点、趋势等），结合选项判断正确图象. 【解析】因为， 所以， 又，      则为奇函数，排除B，D， 当时，，排除C. 故选:A． 【变式1】已知，为的导函数，则的图象大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先对求导，再利用奇偶性排除B、D，然后通过取特殊值排除C即可. 【解析】因为，则， 又因为，所以为奇函数，由此可排除B、D； ，说明的图像在区间上函数值存在负数，由此C不满足，故A正确. 故选：A. 【变式2】函数的导函数在区间上的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先对函数进行求导，然后判断导函数的奇偶性，最后根据图像特征，通过赋值法判断的符号即可求解. 【解析】∵，∴， ∴，∴为奇函数， 从而的图像在区间上关于原点对称，由此可排除选项A、B， 又∵，排除D，从而答案为C. 故选：C. 【变式3】函数的导数的部分图象大致为（  ） A．   B．   C．   D．     【答案】D 【分析】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除. 【解析】因为，所以， 令，，则， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 又，故B错误. 故选：D. 题型07 切线平行、垂直问题 【典例1】若曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】/ 【分析】利用导数求出切线斜率，再根据垂直即可求出. 【解析】因，则，则曲线在点处的切线斜率为， 因切线与直线垂直，则，得. 故答案为： 切线平行可得斜率相等，切线垂直可得斜率之积为 【变式1】若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 【答案】1 【分析】求导，根据平行得到，解得答案. 【解析】因为，所以， 依题意可得，即，解得. 故答案为：1. 【变式2】设曲线在处的切线与垂直，则（  ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先对曲线进行求导，将代入导函数中求出切线斜率，在根据切线与已知直线垂直的关系列出方程求解即可. 【解析】因为，所以， 所以曲线在处的切线斜率为：， 由直线的斜率为：， 又因为曲线在处的切线与垂直， 所以， 所以， 故选：C. 【变式3】设曲线在点处的切线与直线垂直，则a＝ .该切线与坐标轴围成的面积为 . 【答案】 2 /0.25 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义结合切线与直线垂直，列式计算，可求得a的值；求出切线方程，即可求得切线与坐标轴围成的面积. 【解析】令，则曲线在点处的切线的斜率为， 又切线与直线垂直，所以. 因为，所以， 所以，即； 由题意可知，切线方程为，即， 令得；令得， 故该切线与坐标轴围成的三角形面积为， 故答案为：2； 【变式4】已知，其上存在两点的切线互相垂直，则实数 ． 【答案】1 【分析】利用求导来求切线斜率，利用切线垂直可得，再利用一元二次方程要有解，可得判别式为非负数，即可得到特殊情形，从而可解得的值. 【解析】设切点为，， ，则． 则过两点的切线斜率为，． 根据题意得，即， 整理得， 令，即， 其方程有解，即， 整理得． 又由，则，所以， 即，可得, 所以． 故答案为：1 题型08 公切线问题 【典例1】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出曲线在点处的切线方程,设切线与曲线的切点为，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果. 【解析】的导数，令，则， 所以曲线在处的切线方程为， 即 的导数，设直线与曲线切于点， 则曲线在点处的切线方程为， 即，所以解得． 故选：D 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)＝. 【变式1】已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（  ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义，先求得切线方程，再根据导数的几何意义，求得该切线与的切点坐标，代入方程，即可求得m值. 【解析】对求导可得， 所以在点处的切线斜率， 所以切线方程为，整理得， 设与曲线相切于点， 对求导可得， 所以在点处切线的斜率，解得， 代入切线，可得，即切点， 将切点代入，解得. 故选：D 【变式2】（多选）已知函数，，直线分别与曲线和曲线相切于点，，且直线也与曲线，都相切，则（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】选项A，B：先利用导数的几何意义分别写出曲线与过点 ，的切线方程，并与直线比较，即可得到，之间的关系，判断A，B选项． 选项C，D：根据对称性得到与曲线的切点与点之间的关系，即可判断C，D选项． 【解析】选项A，B：易知，，所以，则， 则曲线在点处的切线方程为，即， 则． 曲线在点处的切线方程为， 即，则，所以， 所以，，故A正确，B错误； 选项C，D：曲线与曲线关于直线对称，根据对称性可知，关于直线的对称点是与曲线的切点，则，， 所以，则，，故C错误，D正确． 故选：AD 【变式3】已知直线l与曲线（e为自然对数的底数）和曲线都相切，则直线l的斜率为 ． 【答案】 【分析】设直线与两曲线的切点分别为，，由题意结合导数的几何意义可得直线的方程可表示为和，进而可得，即可得解. 【解析】对求导得，对求导得， 设直线与两曲线的切点分别为，， 则切线的方程可表示为； 切线的方程也可表示为， 所以， 消去整理得即， 令， 易知函数在上单调递减，且， 所以的解为， 所以直线l的斜率． 故答案为：. 题型09 导数运算的新定义问题 【典例1】用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（  ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据曲率的定义求解即可. 【解析】因为， 所以，所以， 所以曲线在处的曲率. 故选：C. 求轨迹方程的常见方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点法：由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点的坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果．有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果． 【变式1】（多选）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可 【解析】对于A，，令，得或，有“巧值点”； 对于B，，令，得，有“巧值点”； 对于C，，令，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”； 对于D，，令，即，得，无解，无“巧值点”. 故选：ABC. 【变式2】给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过二次求导得到的对称中心，利用对称性求解即可. 【解析】由题意可得，， 令解得， 又， 所以的图象的对称中心为，即， 所以 ， 故选：B. 【变式3】设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质． (1)求证：函数不具有性质； (2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)具有性质，的取值集合 【分析】（1）假设具有性质，由定义求解结论成立的条件；         （2）假设具有性质，由定义求解结论成立的条件. 【解析】（1）假设具有性质， 即 对一切恒成立          化简得到，显然不存在实数使得成立，所以假设错误， 因此函数不具有性质. （2）假设具有性质， 即 对一切恒成立， 即 对一切恒成立，则对一切恒成立，      由，所以当时，具有性质， 所以具有性质，的取值集合. 1．下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的求导公式即可解答. 【解析】对于选项A， 故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误； 故选：C. 2．若函数满足，则的值为（  ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求解导函数，再赋值，解关于的方程可得. 【解析】由，得， 则，解得， 故选：C. 3．曲线上的点到直线的距离的最小值为（  ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】求出与直线平行且与曲线相切的直线，利用平行线间的距离求解. 【解析】设与已知直线平行且与曲线相切的直线为， 则，解得， 所以切点为，代入切线方程，可得， 即切线为，由两平行线间的距离， 所以最小值为， 故选：C． 4．已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点坐标为，写出切线的方程，求出即得解. 【解析】解：由，得， 设切点坐标为，则切线方程为， 把点代入并整理，得， 解得或（舍去）， 故切线斜率为． 故选：C． 5．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（  ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义及切点在曲线上建立等式得出，，代入化简整理即可求解. 【解析】由可得：； 由可得：. 由曲线在点处的切线与曲线相切于点， 得，， 则. ， 所以，整理得：， 结合，可得：. 故选：B. 6．已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式即得切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求得答案. 【解析】由求导，可得， 则，又， 则曲线在点处的切线为， 则切线与两坐标轴的交点分别为，，故三角形的面积为. 故选：D. 7．（多选）下列结论中，正确的是（  ） A． B．若，则 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据初等函数的导数逐一判断即可. 【解析】A：因为，所以，因此本选项不正确； B：由，所以，因此本选项正确； C：因为，所以本选项正确； D：因为，所以本选项正确， 故选：BCD 8．（多选）已知函数不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记的导函数为，则（  ） A．存在和实数，使得 B．不存在和实数，满足 C．存在和实数，满足 D．若存在实数满足，则只能是指数函数 【答案】AC 【分析】通过举反例，利用导数法则及对数函数的运算、诱导公式依次判断各选项，即可得出结果. 【解析】令，则存在实数使得，A正确； 存在，故B错误； 令，则，C正确； 若，，故D错误． 故选：AC． 9．（多选）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【解析】对于A：，，， 则在上恒有，故A正确； 对于B：，，， 则在上恒有，故B正确； 对于C：，，， 则在上恒有，故C正确； 对于D：，，， 则在上恒有，故D错误. 故选：ABC. 10．定义在实数集上的可导函数满足：，，其中是的导数，写出满足上述条件的一个函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】可取满足题意的，求出其原函数，令解出，从而得到符合题意的 【解析】可令，满足 则 故 故 故答案为：（本题答案不唯一） 11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心． 若，请你根据这一发现，求： （1）函数对称中心为 ； （2）计算 ． 【答案】 / 【分析】（1）解方程，可求得函数的对称中心坐标； （2）由已知可得，利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【解析】（1）因为，则，， 由，可得，且， 所以，函数的对称中心为； （2）由（1）可知对任意的，， 所以， ， 因此，. 故答案为：（1）；（2）. 12．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，确定，化简可得，结合题意有，解不等式即可求出的取值范围. 【解析】令，则有，设过点作曲线的切线， 切点为，根据题意有，即， 又，可得，因为，所以上式可化为 ，整理有：，因为过点可以作曲线 的两条切线，所以方程有两解，所以，即， 解得或. 故答案为： 13．求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6). 【答案】(1);(2);(3) (4);(5);(6) 【分析】结合导数的四则运算，利用复合函数求导法则求解各个函数即可. 【解析】（1）令，则. . （2）令，则， . （3） ,. （4）令，则， 则. （5），. （6）. 14．小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：和.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答： (1)当，时，经过点作曲线的切线，切点为.求证：不论p怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上； (2)当，，时，若存在斜率为的直线与曲线和都相切，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1) 先把，代入的方程，然后求出在点处的切线方程，再把点代入切线方程，可得点坐标满足，即可证明结论.(2)先根据斜率为分别求出直线与曲线和的切点，再把的坐标代入直线的斜率公式,从而得到的关系式，代入消去，用基本不等式即可求的最小值. 【解析】（1）当，时，，， 设，切线方程为， 代入，得，又因为， 于是可得， 即点P在“双升双降函数”的图像上. （2）当，时，， ，， 设曲线在点处的切线斜率为， 则，所以，则， 设曲线在点处的切线斜率为， 则， 所以，点， 所以直线的斜率， 所以， 由于， 所以（当且仅当时取等号） 所以，的最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $