检测评价27 等比数列的性质及应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

5 / 6 “四翼”检测评价（二十七）等比数列的性质及应用 (一)基础落实 1.在等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　∵a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝. 2.－1与＋1的等差中项和等比中项分别是(　 ) A.，± B.， C.，－ D.，±2 解析：选A　－1与＋1的等差中项是＝，－1与＋1的等比中项是±＝±.故选A. 3.设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为(　 ) A. B. C. D.1 解析：选A　由题意得a2＝2a1，a3＝4a1，a4＝8a1.所以＝＝. 4.在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　 ) A.10n B.n10 C.100n D.n100 解析：选A　设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则(a2·a3·…·an＋1)2＝(a1·an＋2)n＝100n，∴a2·a3·…·an＋1＝10n. 5.(多选)已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝9，若a7>b7且a8>b8，则以下结论正确的是(　 ) A.a8>0 B.b8<0 C.a7>a8 D.b7>b8 解析：选BD　因为等比数列{an}的公比q＝－，则a7＝a1，a8＝－a1，而a1的正负不确定，因此不能确定a7和a8的正负及大小关系，A、C错误；显然a7和a8异号，又a7>b7且a8>b8，则b7，b8中至少有一个是负数，而b1＝9>0，于是等差数列{bn}的公差d<0，即数列{bn}单调递减，因此b7>b8，且b8<0，B、D正确.故选B、D. 6.在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝____________. 解析：由题意知q5＝＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536. 答案：1 536 7.在等比数列{an}中，an>0，a3a4＝4, 则log2a1＋log2a2＋…＋log2a6的值为________. 解析：由题可得，a1a6＝a2a5＝a3a4＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a6＝log2(a1·a2·…·a6)＝log2(a3a4)3＝log243＝6log22＝6. 答案：6 8.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a).这里x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x的值等于________. 解析：已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2.因为b>a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝(舍去). 答案： 9.已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. 解：(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a＋2a3a5＋a＝36，即(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6. (2)设等比数列{an}的公比为q，∵a2－a5＝42， ∴q≠1.由已知，得 ∴解得 若G是a5，a7的等比中项，则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×＝9， ∴a5，a7的等比中项为±3. 10.在等比数列{an}中. (1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an； (2)若{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an. 解：(1)∵＝q4＝4，∴q2＝2，又q>0，∴q＝， ∴an＝a3·qn-3＝4·()n-3＝2(n∈N*). (2)由a＝a10＝a5·q10-5，且a5≠0，得a5＝q5， 即a1q4＝q5，又q≠0，∴a1＝q. 由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan， ∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q， 解得q＝或q＝2.∵a1＝q，且{an}为递增数列， ∴∴an＝2·2n-1＝2n(n∈N*). (二)综合应用 1.在数列{an}中，“a＝an－1an＋1对任意n≥2且n∈N*都成立”是“{an}是等比数列”的(　 ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.