3.3.1 抛物线的标准方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

开始 落实必备知识 01 02 03 目 录 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 3.3.1　抛物线的标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 重点 难点 重点：抛物线的定义、标准方程. 难点：抛物线标准方程定义及标准方程的应用. (一)抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离______的点的轨迹叫作抛物线，________叫作抛物线的焦点，_______叫作抛物线的准线. 相等 定点F 定直线l 对抛物线定义的理解 1.抛物线的定义可归结为“一动三定”：“一动”即一个动点，设为M；“三定”即一个定点F、一条定直线l、一个定值(即动点M与定点F和定直线l的距离的比值为常数1). 2.定义中的隐含条件：定点F不在准线l上，这是动点轨迹为抛物线的必要条件，否则，若定点F在定直线l上，则动点轨迹为过定点F且和定直线l垂直的一条直线. 过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为 (　 ) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 答案：D 解析：由题意知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故选D. (二)抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种不同的形式 标准 方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 焦点 坐标 __________ ________ 准线 方程 ___________ __________ p的几 何意义 ________________的距离 焦点到准线 四种标准方程对应的抛物线的比较 相同点 不同点 (1)顶点都在原点. (2)焦点都在坐标轴上. (3)焦点到准线的距离都是p. (4)准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，它们 与原点的距离都等于 (1)当焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；当焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2. (2)开口方向与x轴(或y轴)的正方向相同时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程一次项的系数为正数；开口方向与x轴(或y轴)的正方向相反时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程一次项的系数为负数 1.抛物线x2＝－2y的焦点坐标是 (　 ) 答案：y＝2 求抛物线的标准方程 [典例]　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为2y＋4＝0; (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上. [方法技巧] 求抛物线标准方程的方法 (1)直接法：直接利用题中已知条件确定参数p. (2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件确定参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my(m≠0).已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定.　　 [对点训练] 1.已知抛物线的焦点为F(a，0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是 (　 ) A.y2＝2ax B.y2＝4ax C.y2＝－2ax D.y2＝－4ax 答案：B 解析：因为抛物线的焦点为F(a，0)(a＜0)， 所以可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0). 答案：A 抛物线定义的应用 [典例]　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. [拓展]　 1.若将本例中的点(0，2)改为“点A(3，2)”，求PA＋PF的最小值. 解：如图，作PQ垂直于准线l于点Q，PA1＋PQ＝PA1＋PF≥(A1F)min. [方法技巧] 1.抛物线定义的应用思路 通常把抛物线上某点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，或者把抛物线上某点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，然后根据平面几何的相关知识求解. 2.与抛物线定义有关的最值问题的解题思路 由抛物线的定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，再利用平面几何的性质，确定最值点，即得最值.特别地，已知F为抛物线C的焦点，P为C上的点，A为定点，则有下列结论成立： A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：由题意知，抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是PF＝d＋1，所以d＋PA＝PF－1＋PA的最小值为AF－1＝4－1＝3.故选C. 抛物线的实际应用 [典例]　一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛