3.1.2 椭圆的几何性质（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

开始 落实必备知识 01 02 03 目 录 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 3.1.2　椭圆的几何性质 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.掌握简单的椭圆的几何性质. 2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响. 3.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用. 重点难点 重点：椭圆的几何性质. 难点：椭圆的几何性质的理解和应用. 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 _________________________ _________________________ 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心(中心)为原点 顶点 _________________________ _________________________ B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0) －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 续表 轴长 短轴长|B1B2|＝_____，长轴长|A1A2|＝_____ 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)  焦距 |F1F2|＝_____ 2b 2a 2c 续表 离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比______称为椭圆的离心率，用e表示，即e＝ . (2)性质：离心率e的范围是________.当e越接近于1时，椭圆越扁平；当e越接近于0时，椭圆就越接近于______ (0，1) 圆 续表 (4)椭圆离心率e的取值范围是(0，1)，椭圆的离心率刻画了椭圆的“扁平程度”，离心率e越大，椭圆越扁平，离心率e越小，椭圆越接近于圆.当且仅当a＝b，c＝0时，两个焦点重合，椭圆就变为圆，它的方程为x2＋y2＝a2. (5)椭圆离心率是焦距与长轴长的比，也可以形象的理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度.由椭圆的定义，椭圆的离心率e一般有以下几种表达方式： 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 3.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 (　 ) A.5，3，0.8 B.10，6，0.8 C.5，3，0.6 D.10，6，0.6 答案：B 根据椭圆方程研究其几何性质 [典例]　求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标，并以矩形为参照画出椭圆的图形：(1)x2＋4y2＝4；(2)9x2＋4y2＝36. [方法技巧] 1.由椭圆方程讨论其几何性质的步骤 (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个坐标轴上； (2)由标准形式求出a，b，c，写出其几何性质. 2.椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置； (2)椭圆的范围决定椭圆的大小； (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度； (4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这些点.　　 [对点训练] 1.已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝ (　 ) 根据椭圆的几何性质求其标准方程 (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. [方法技巧] 已知椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤 (1)确定焦点所在的坐标轴，从而确定椭圆标准方程的形式； (2)由所给的几何性质充分挖掘a，b，c所满足的关系式，建立关于a，b，c的关系式或方程(组)解出a，b的值； (3)写出椭圆的标准方程.　　 答案：D 求椭圆的离心率 [拓展] 1.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率. 解：在△PF1F2中， ∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°， ∴∠F1PF2＝60°， 设PF1＝m，PF2＝n，F1F2＝2c，m＋n＝2a， 2.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围. 解：由题意，知c＞b，∴c2＞b2. 又b2＝a2－c2， ∴c2＞a2－c2，即2c2＞a2. [方法技巧]　求椭圆离心率及范围的两种方法 直接法 若已知a，c可直接利用e＝ 求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a.再代入公式e＝ 求解 方程法 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 答