4.4 数学归纳法（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

开始 落实必备知识 01 02 03 目 录 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 4.4　数学归纳法* 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单问题. 重点难点 重点：理解数学归纳法的简单应用. 难点：对数学归纳法的理解. 数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行： (1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立. 根据(1)(2)就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫作数学归纳法. 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点. (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项. (3)利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明就不是数学归纳法. 1.判断正误 (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(　 ) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　 ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 用数学归纳法证明等式 [方法技巧] 用数学归纳法证明恒等式应注意的三点 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形.　　 归纳—猜想—证明 [典例]　已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和且Sn是2a与－2nan的等差中项，其中a是不为0的常数. (1)求a1，a2，a3； (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明. [方法技巧] 1.“归纳—猜想—证明”的一般环节 2.“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和. (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在. (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.　　 用数学归纳法证明不等式 [方法技巧]　 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 关键点一 验证第1个n的取值时，要注意 n0不一定为1，若条件为n＞k，则n0＝k＋1 关键点二 证明不等式的第二步中，从 n＝k到n＝k＋1 的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推” 关键点三 应用归纳假设后，若证明方法不明确，可采用分析法证明n＝k＋1时也成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程 关键点四 证明n＝k＋1成立时，应加强目标意识，即要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放得过大”或“缩得过小” 续表 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价（三十）” (单击进入电子文档) 42 谢谢观看 2.若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时，f(n)＝ (　 ) A.1　　　　　　　　　　B . C.1＋＋ D.以上答案均不正确 答案：C 3.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有______________. 答案：f(2n)＞ ————————————————————————————— ————————————————————————————————— [典例]　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*). [证明]　①当n＝1时，左边＝1－＝， 右边＝＝，左边＝右边. ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 即1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋， 则当n＝k＋1时， ＋ ＝＋ ＝＋＋…＋＋. 即当n＝k＋1时，等式也成立. 综合①②可知，对一切n∈N*，等式成立. [对点训练] 用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)(n∈N*). 证明：①当n＝1时，左