4.3.3 等比数列的前n项和（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

开始 落实必备知识 01 02 03 目 录 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 4.3.3　等比数列的前n项和 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及前n项和的性质. 2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 重点 难点 重点：等比数列前n项和公式及性质的应用. 难点：掌握几种数列求和的方法. 1.等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和 na1 na1 2.等比数列前n项和的性质 (1)若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝A－Aqn(Aq≠0，q≠1)，则数列{an}是等比数列. (2)若数列{an}为公比不为－1或公比为－1且n为奇数的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成等比数列. (3)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于 (　 ) A.93 B.－93 C.45 D.－45 答案：A 3.在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为 (　 ) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案：A 等比数列前n项和公式的基本运算 [典例]　在等比数列{an}中， [方法技巧] 等比数列前n项和运算的注意点 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. 在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 2.设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为________. 等比数列前n项和性质的应用 [典例]　(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. (2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数. [方法技巧] 解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简.不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论.　　 1.等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为 (　 ) A.28 B.32 C.21 D.28或－21 答案：A 解析：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7，91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21. ∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28. [对点训练] 2.已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30. 3.一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式. 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶， 由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶. 等比数列前n项和的实际应用问题 [典例]　一个热气球在第1 min上升了25 m的高度，在以后的每1 min里，它上升的高度都是它在前1 min上升高度的80%.这个热气球上升的高度能达到125 m吗？ [方法技巧] [对点训练] 某电扇厂去年实现利润300万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长10%.问从今年起第5年的利润是多少？这5年的总利润是多少？(结果精确到1万元) 解：根据题意，可知每年的利润组成一个首项a1＝300，公比q＝1＋10%＝1.1的等比数列. 所以从今年起第5年的利润为a6＝a1q6-1＝300×1.15≈483(万元). 一、在典题训练中内化学科素养 等比数列求和是对数列研究的深入，数列求和的很多问题都与等比数列有关.对于等比数列求和问题，熟练掌握基本量之间的关系是关键，同时进一步强化与等差数列的综合.考查数学运算、逻辑推理的核心素养. 1.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则 (　 ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：B　 2.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，