4.2.3 等差数列的前n项和（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

开始 落实必备知识 01 02 03 目 录 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 4.2.3　等差数列的前n项和 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.探索并掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系，在五个量(a1，d，n，an，Sn)中，会由其中三个求另外两个. 3.能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题. 重点 难点 重点：等差数列前n项和公式及其性质的应用. 难点：在具体情境中发现等差数列的关系. 1.数列前n项和的概念 一般地，对于数列{an}，把__________________称为数列{an}的前n项和，记作Sn. 第1课时　等差数列的前n项和 a1＋a2＋…＋an 2.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝__________ Sn＝_______________ 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ A.5　　　　 B.7　　　　 C.9　　　　 D.11 答案：A 3.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于(　 ) A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500 答案：D 等差数列前n项和公式的应用 (2)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (3)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. [方法技巧] 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. [对点训练] 在等差数列{an}中， (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a3＋a15＝40，求S17. Sn与an的关系 [典例]　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n. (1)求a1及an； (2)判断这个数列是否是等差数列. [解]　(1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－2(n－1)2＋30(n－1)＝4n－32. 又当n＝1时上式也成立，所以an＝4n－32(n∈N*). (2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以an－an－1＝4n－32－4(n－1)＋32＝4(常数)，所以数列{an}是等差数列. [拓展] 将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“log2(Sn＋1)＝n＋1”，其他条件不变，求an. [方法技巧] 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤 (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. 等差数列前n项和的实际应用问题 [典例]　某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m，最远一根电线杆距离电站1 550 m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工(完成任务后回到原处).若该汽车往返运输总行程为17 500 m，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？ [解]　由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}， 则an＝1 550×2＝3 100，d＝50×3×2＝300，Sn＝17 500. [方法技巧] 等差数列前n项和公式主要应用于求解实际问题中的总数问题，如材料的总数目、行程问题中的总行程等.只要是等差数列，就可以应用前n项和公式计算总数，求解时应注意从实际问题中抽象出的数学模型要准确.　　 [对点训练] 小明到某单位上班，第一个月工资为2 000元，以后每个月工资比上个月增加100元，假设每个月他除了正常开销的500元，其余钱都存着打算买一辆汽车.经过多少个月，小明积累的钱可以购买一辆价格为5万元的汽车？ 解：设第n个月结余的钱为an， 则a1＝1 500，d＝100，前n个月结余的钱之和为Sn， 一、在典题训练中内化学科素养 等差数列前n项和公式可以从函数和方程两个视角下来理解，考查数学运算的核心素养. 1.(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________. 2.(2021·新高考Ⅱ卷)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求使Sn>an成立的n的最小值. 解：(1)设公差为d， ∵S5＝5a3＝a3⇒a3＝0，∴S4＝2(a2＋a3)＝2a2. ∴a2a4＝S4