6.1.3 全概率公式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1．3全概率公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.结合古典概型，会用全概率公式计算概率． 2.了解贝叶斯公式． 重点 难点 重点：全概率公式的应用． 难点：全概率公式的理解. 1．样本空间Ω的一个划分 设Ω是试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一组事件，若 (1)BiBj＝∅，其中i≠j(i，j＝1,2，…，n)， (2)B1∪B2∪…∪Bn＝Ω， 则称B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分． 2．全概率公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i＝1,2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)．称上式为全概率公式． (1)对于样本空间Ω的一个划分，条件(1)表示每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个；条件(2)表示每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生． (2)如果我们把Bi看成导致事件A发生的各种可能“原因”，那么，全概率公式告诉我们：事件A发生的概率恰好是事件A在这些“原因”下发生的条件概率的平均． (3)应用全概率公式计算的关键是寻找样本空间的一个划分． *3.贝叶斯公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，P(Bi)>0(i＝1,2，…，n)，则P(Bi|A)＝.称上式为贝叶斯公式． 1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为(　 ) A．0.012 3 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 解析：选C　从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. *2.12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，则先取的1件为次品的概率为________． 解析： 令A＝{先取的1件为次品}，则P(A)＝，P()＝，令B＝{后取的2件皆为正品}，则P(A)＝＝，P()＝＝，由贝叶斯公式得P(B)＝＝＝＝. 答案： —————————————————————————————————— 全概率公式的简单应用 —————————————————————————————————————— [典例]　现有甲、乙两盒，甲盒中有3个红球，2个白球，乙盒中有2个红球，1个白球，先从甲盒中采用不放回抽样取3个球放入乙盒，再从乙盒中取1个球，求取到的是红球的概率． [解]　设事件Bi表示“从甲盒中取3个球，其中有i个红球”(i＝1,2,3)，A表示“从乙盒中取一个球是红球”，则B1，B2，B3构成样本空间的一个划分．由古典概型概率公式得P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝＝，P(A|B3)＝＝.由全概率公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.即从乙盒中取1个球，取到的是红球的概率为. 利用全概率公式解题的一般步骤 (1)找出样本空间Ω的一个划分B1，B2，…，Bn，设“结果”对应的事件为A； (2)计算P(Bi)与P(A|Bi)(i＝1,2，…，n)； (3)由全概率公式求“结果”对应的事件A的概率P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)． [对点训练] 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率． 解：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥．根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. — ————————————————————————————————— 全概率公式的综合应用 —————————————————————————————————————— [典例]　一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格，则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格，则第二次及格的概率为. (1)若至少有一次及格他就能取得某种资格，求他取得该种资格的概率； (2)若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率． [解]　设Ai＝{他第i次及格}(i＝1,2)，则P(A1)＝P(A2|A1)＝p，P(A2|1)