2.5.1 椭圆的标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．5.1　椭圆的标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，了解椭圆的实际背景． 2．掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程． 3．会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程． 重点 难点 重点：椭圆的几何特征，椭圆的定义及标准方程． 难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用. (一)椭圆的概念 1．定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆． 2．相关概念 两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 1．对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆． 2．对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 3.定义的双向运用 一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)． 　下列说法正确的是(　 ) A．已知点F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．已知点F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离相等的点的轨迹是椭圆 答案：C (二)椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 1．椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(－c,0)，当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0，c)，(0，－c)． 2．在两种标准方程中，a2＞b2，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 3．P是椭圆上的任意一点(不在坐标轴上)，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)． 4．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)(异于长轴的端点)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： (1)当r1＝r2，即点P的位置为椭圆与y轴交点时，θ最大； (2)S＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为椭圆与y轴交点时，S取最大值，最大值为bC． 1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为(　 ) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋x2＝1 解析：选A　由椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)可知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1.又点P(2,0)在椭圆上，∴a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝22－12＝3，∴椭圆的标准方程为＋＝1.故选A． 2．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________． 解析：原方程可化为＋＝1.依题意， 得即 所以k的值为－1或－. 答案：－1或－ 　　　　　　　　　　　　　　　　 求椭圆的标准方程 [典例]　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 　　　 (2)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； (3)经过点P，Q. [解]　(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以 解得所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一：(分类讨论法)①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 依题意，有解得 由a＞b＞0，知不合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 依题意，有解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：(待定系数法)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． 则 解得所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝