2.4 曲线与方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2.4　曲线与方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系． 2．理解曲线的方程和方程的曲线的概念． 3．掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的步骤． 重点 难点 重点：求曲线方程． 难点：理解曲线方程与方程的曲线. 1．曲线的方程与方程的曲线 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程 F(x，y)＝0的解； (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程． 2．两条曲线的交点坐标 曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为方程组的实数解． 3．曲线的轨迹方程 一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 4．求动点M轨迹方程的一般步骤 (1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)； (2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程． 1．判断正误 (1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝±x.(　 ) (2)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件．(　 ) 答案：(1)√　(2)× 2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(　 ) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线x－y＝0对称 解析：选C　将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C． 3．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是(　 ) A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝4(x＞0) C．y＝－ D．y＝－(0＜x＜2) 解析：选D　排除法，第四象限内满足x＞0，y＜0. 4．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________． 解析：由方程得表示四个点． 答案：4个点 5．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是_________． 解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2 曲线与方程的概念 [典例]　 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是(　 ) A．方程f(x，y)＝0的曲线是C B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C C．f(x，y)＝0是曲线C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 [解析]　“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确． [答案]　B [方法技巧] “曲线”与“方程”的判定方法 解决“曲线”与“方程”的判定问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并做出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．　　 [对点训练] 分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系． 解：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程． (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5. (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0. 曲线与方程关系的应用 [典例]　已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值． [解]　(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P(1，－2)在方程x2＋(