2.2.3 两条直线的位置关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

　2.2.3　两条直线的位置关系 第 1 课时　两条直线的相交、平行与重合 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系． 2．会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标． 重点 难点 重点：两直线平行的应用． 难点：平行直线系方程的应用. 1．几何方法判断 若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， (1)l1与l2相交⇔k1≠k2； (2)l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； (3)l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2. (1)利用“k1＝k2⇒l1∥l2”判定两条直线平行的前提条件是这两条直线的斜率都存在，且这两条直线不重合．反之，当l1∥l2时，未必有k1＝k2. (2)对于两条不重合的直线l1与l2，设它们的倾斜角分别为α1，α2，一个法向量分别为n1，n2，一个方向向量分别为v1，v2，则l1∥l2⇔α1＝α2⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ为非零实数)⇔v1∥v2⇔v1＝μv2(μ为非零实数)，因此，我们除利用斜率来判断两直线是否平行外，还可以利用直线的倾斜角、法向量或方向向量来判断． 2．代数方法判断 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)l2与l1相交⇔A1B2≠A2B1； (2)l2与l1平行或重合⇔A1B2＝A2B1； (3)l2与l1平行⇔A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1； (4)l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且B1C2＝B2C1. 常用的直线系方程 (1)过定点(x0，y0)的直线系方程：y－y0＝k(x－x0)是过定点(x0，y0)的直线系方程，但不含直线x＝x0；A(x－x0)＋B(y－y0)＝0是过定点(x0，y0)的一切直线方程． (2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．与y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)． (3)过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)是过l1与l2交点的所有直线方程． 1．判断正误 (1)若两条直线的斜率相等，则两条直线平行．(　 ) (2)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是(　 ) A．(1,2) B．(2,1) C．(1,1) D．(2,2) 解析：选A　直线x＝1与直线y＝2是互相垂直的直线，交点坐标是(1,2)．故选A． 3．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1与l2只有一个公共点，则(　 ) A．A1B1＝A2B2 B．A1B2≠A2B1 C．B1C1≠B2C1 D．A1C2≠A2C1 答案：B 4．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________. 解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，∴m＝0. 答案：0 [题点一] 两条直线相交或平行的判定 [典例]　(1)已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：①相交？②平行？③重合？ (2)已知两直线l1：3x－y＋4＝0和l2：x＋y－4＝0.判断两直线是否相交，若相交，求出其交点． [解]　(1)因为直线l1：x＋my＋6＝0， 直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，所以A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. ①若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0， 即1×3－m(m－2)≠0， 即(m－3)(m＋1)≠0，即m≠3，且m≠－1. 故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交． ②若l1∥l2，则有 即即 即所以m＝－1. 故当m＝－1时，直线l1与l2平行． ③若l1与l2重合， 则有即 所以所以m＝3. 故当m＝3时，直线l1与l2重合． (2)∵≠，∴两直线相交． 联立解得 即两直线交点为(0,4)． [方法技巧] 两直线斜率存在时位置关系的判断方法 若两直线斜率都存在，则把直线方程化成斜截式．根据直线的斜率和在y轴上的截距来判断． (1)若两直线斜率不相等，则两直线相交． (2)若两直线斜率相等，在y轴上的截距不等，则两直线平行． (3)若两直线斜率和在y轴上的截距都相等