2.2.1 直线的倾斜角与斜率（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2.2.1　直线的倾斜角与斜率 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 重点 难点 重点：直线的倾斜角和斜率的概念． 难点：斜率与倾斜角的关系. 一直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°. (2)范围： 0°～180°. 2．直线的斜率 (1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan_θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率不存在． (2)公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． 直线的斜率与倾斜角的区别与联系 (1)直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度． (2)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为直角的直线不存在斜率． (3)不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是直角时，倾斜角的正切值就是斜率，此时斜率和倾斜角可以相互转化．因此，确定一条不垂直于x轴的直线，只要知道直线上的一个点的坐标和直线的斜率即可． 1．判断正误 (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．(　 ) (2)斜率公式与两点的顺序无关．(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2.如图所示，直线l的倾斜角为(　 ) A．30° B．60° C．120° D．以上都不对 解析：选C　根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°. 3．若直线l过点M(－，)，N(－，)，则l的斜率为(　 ) A． B．1 C． D． 解析：选B　根据题意，l的斜率为＝1. 二直线的方向向量和法向量 1．直线的方向向量 (1)定义：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. (2)已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角θ满足tan θ＝. 2．直线的法向量 如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l. 1．判断正误 (1)如果A(2,1)，B(0,2)是直线l上不同的两点，则＝(－2,1)是直线l的一个方向向量．(　 ) (2)一条直线的方向向量与法向量互相垂直．(　 ) 答案：(1)√　(2)√ 2．(多选)已知直线l经过点A(2,1)与B(0,2)，则以下向量可以作为直线l的一个方向向量的是(　 ) A．a＝(1,2) B．a＝(－4,2) C．a＝(－2，－1) D．a＝(4，－2) 解析：选BD　因为＝(－2,1)，所以2＝(－4,2)，故a＝(－4,2)与共线，可以作为直线l的一个方向向量．同理，a＝(4，－2)也可以作为直线l的一个方向向量，故选B、D． 3．如果直线l的一个方向向量是v＝(－1,3)，一个法向量是u＝(－3，a)，则a＝________. 解析：因为v＝(－1,3)和u＝(－3，a)分别是直线l的一个方向向量和一个法向量，所以v·u＝0，即(－1)×(－3)＋3a＝0，解得a＝－1. 答案：－1 [题点一] 直线的倾斜角 [典例]　(1)已知直线l经过A(2,1)，B(3，t2)(t∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　 ) A． 　 B．[0，π] C．∪ 　　 D．∪ (2)已知直线l向上方向与y轴正方向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________. [解析]　(1)由题意得，直线l的斜率k＝t2－1≥－1，故tan α≥－1，根据正切函数的图象与性质可知，0≤α＜或≤α＜π. (2)有如下两种情况： ①如图a，直线l向上方向与x轴正方向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图b，直线l向上方向与x轴正方向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. [答案]　(1)C　(2)60°或120° [方法技巧] 求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出示意图，找准倾斜角．有时要根据题意把倾斜角α分为以下四种情况讨论：α＝0°，0°<α<90°，α＝90°，90°<α<180°.　　 [对点训练] 1．已知直线l的倾斜角为θ－，则角θ的取值范围为(　 ) A． B． C．[0，π) D． 解析：选D　因为直线的倾斜角的取值