2.1 坐标法（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

　第二章 平面解析几何 2．1　坐标法 明学习目标 知结构体系 课标要求 1．理解实数与数轴上的点的一一对应关系及数轴上两点间的距离公式. 2．掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式．体会坐标法在几何中的作用以及应用． 重点难点 重点：平面上两点间的距离公式与中点坐标公式的应用． 难点：理解坐标法在解析几何中的应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．平面直角坐标系中的基本公式 两点间距离公式 已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝ 中点坐标公式 已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，则有x＝，y＝ (1)中点问题可看成中心对称问题，即线段AB的中点M就是线段AB的对称中点，或点A关于点M的对称点为点B．由此得P(x，y)关于G(x0，y0)的对称点P′的坐标为(2x0－x,2y0－y)． (2)三角形的重心坐标公式：以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的△ABC的重心的坐标为. 2．坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法． 1．判断正误 (1)相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上的两个向量的坐标相等，则这两个向量相等．(　 ) (2)中点坐标公式中两点位置没有先后顺序．(　 ) (3)A，B两点的距离与A，B的顺序无关．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．下列说法正确的是(　 ) A．点M(x)位于点N(2x)的左侧 B．数轴上等长的向量是相等的向量 C．数轴上向量在数轴上的坐标AB＝－BA D．数轴是有方向的直线 答案：C 3．在x轴上有一点P到原点及点A(5，－3)的距离相等，则点P的坐标为(　 ) A．(－2,0) B．(1,0) C． D．(3.4,0) 答案：D 4．点P(2，－1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为(　 ) A．(1,5) B．(4,9) C．(5,3) D．(9,4) 答案：B [题点一] 两点的距离公式及应用 [典例]　(1)已知数轴上点A，B的坐标分别为x1，x2，若x2＝－1，且|AB|＝5，则x1的值为________． (2) 已知点A(5,12)，在x轴上求一点P，使点P与点A的距离等于13，则满足条件的点为_________. (3)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a,0)，B(a，0)，C(0, a)．求证：△ABC是等边三角形． [解析]　(1)|AB|＝|x2－x1|＝5，即|x1＋1|＝5，解得x1＝－6或x1＝4. (2)设点P的坐标为(x,0)， 根据题意，得 ＝13， 解得x1＝0，x2＝10. [答案]　(1)－6或4　(2)(0,0)或(10,0) (3)证明：由两点间距离公式得 |AB|＝ ＝2|a|， |BC|＝ ＝2|a|， |CA|＝ ＝2|a|. ∴|AB|＝|BC|＝|CA|， 故△ABC是等边三角形． [方法技巧] 两点的距离公式应用的两种形式 (1)求到某点的距离满足某些条件的点P(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可． (2)利用两点的距离公式可以判断三角形的形状，从三边边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形．还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线．　　 [对点训练] 1．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，则△ABC的周长为(　 ) A．4　　　　　　　　　　 B．8 C．12 D．16 解析：选C　∵A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)， ∴|AB|＝＝＝5， |BC|＝＝＝3， |AC|＝＝＝4. ∴△ABC的周长为|AB|＋|BC|＋|AC|＝ 5＋3＋4＝12. 2．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当取最小值时，实数a的值是________． 解析：点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，由两点间距离公式得到＝＝，根据二次函数的性质得到最小值在对称轴处取得，又对称轴为a＝，故实数a的值是. 答案： [题点二] 中点坐标公式及应用 [典例]　(1)已知三点A(x,5)，B(－2，y)，C(1,1)，且点C是线段AB的中点，求x，y的值． (2)求点M(4,3)关于点N(5，－3)的对称点． (3)已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0，0)，B(2,0)，D(1,3)，求顶点C的坐标． [解]　(1)由题意知解得 (2)设所求点的坐标为(x，y)，则 解得故所求对称点的坐标为(6，－9)． (3)∵平行四边